Контрольная работа по высшей математике"

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

 

ИНСТИТУТ ТЕРРИТОРИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент

группы 19ЭФС-101

Федорушкина Е.И.

 

Проверил:

Ухоботов В.И.

 

 

Вариант 5

 

Номера задач по варианту	1	2	3	4	5	6	7
Зачтено

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2012

 

 

1. Исходя из определения предела числовой последовательности, показать, что , где

, A = 2.

 

Решение:

Возьмем произвольное e > 0. Рассмотрим неравенство , , . Поскольку "n Î N (5n+3) > 0, то неравенство примет вид , ,

т.е. , где означает взятие целой части. Следовательно для

 такое, что при всех n > M выполняется неравенство .

 

 

 

2. Найти сумму числового ряда .

 

Решение: , , ,

, ,

 

Ответ: .

 

 

 

3. Исследовать на сходимость числовой ряд 

 

Решение:

Данный ряд можно записать в виде: . Этот ряд – знакоположительный, поэтому используем признак Даламбера:

 

 ряд сходится.

 

Ответ: ряд сходится.

 

 

 

 

 

 

 

4. Для функции y = f(x) при x ¹ 0:

а) доопределить ее по непрерывности при x = 0;

b) вычислить ее производную в точке x = 0;

с) вычислить производную в любой точке x ¹ 0.

 

Решение:

a) , по правилу Лопиталя:

.

 

b) . Производная в точке  
x = 0 не существует, т.к. не существует производной функции |x| в точке x = 0.

 

 

c) Возьмем точку x = p.

.

 

 

Ответ:

а) ;

b) производная в точке x = 0 не существует;

 

с) производная в точке x = p равна 23,833.

 

 

 

5. Вычислить  неопределенный интеграл от функции

 

Решение:

Введем замену: . Тогда:

 

.

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

6. Вычислить  определенный интеграл 

 

Решение:

. .

Введем замену: и . Тогда:

 

Еще раз введем замену: и . Тогда:

;

Ответ:

 

 

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми: y + x3 = 75x; y + 75 = x2

 

Решение:

 

y1 = 75x – x3; y2 = x2 – 75.

 

Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых:

 

75x – x3 = x2 – 75; x3 + x2 – 75x – 75 = 0; x2(x + 1) – 75(x + 1) = 0; (x + 1)(x2 – 75) = 0.

 

 

 

Ответ: S = 2887,33