Контрольная работа по высшей математике

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине

«Высшая математика»

 

Вариант 1

 

 

 

 

Выполнил: студент  1-ого курса

Специальность: ФИК

Заочно - дистанционной  формы обучения

 

Проверил (а):  _____________

 

 

 

 

 

Когалым – 2009

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 3

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 6

3. Интегральное исчисление функции одного переменного 10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение  в анализ и дифференциальное  исчисление функции одного переменного

 

1. Вычислить  предел 

Решение

.

Ответ: 0.

 

2. Найти асимптоты функции

Решение

Исследуем поведение функции вблизи точки  разрыва  . Т.к. при , при , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

.

Значит, - горизонтальная асимптота функции.

,

Следовательно, наклонных асимптот нет.

Ответ: - вертикальная асимптота,

            - горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.

 

3. Определить  глобальные экстремумы  , при

Решение

Вычислим  производную функции: . Решая уравнение , получаем точку возможного экстремума: . Но в интервал эта точка не входит.

,

.

Ответ: (т. глобального максимума),

            (т. глобального минимума).

 

4. Исследовать  на монотонность, найти локальные  экстремумы и построить эскиз  графика функции 

Решение

Вычислим производную функции: . Решая уравнение , получаем три точки возможного экстремума , , .

  +            +                            + 

       0              1        -        3         x

                                                    

 

- т. максимума,

- т. минимума.

- функция возрастает,

- функция убывает.

Эскиз графика  функции  .

 

5. Найти промежутки  выпуклости и точки перегиба  функции 

Решение

Вычислим  первую производную функции:

.

Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

Решая уравнение  , получаем .

                + 

   -    1     

                    

- точка перегиба.

- направление выпуклости графика  вверх, а на - вниз.

 

2. Дифференциальное  исчисление функций и его приложение

 

1. Провести  полное исследование свойств  и построить эскиз графика  функции 

Решение

1. .

2. График функции оси 0x и 0y в точке начала координат (0;0).

3. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Т.к. при , при , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

.

Значит, горизонтальной асимптоты у графика нет.

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную  асимптоту  .

4. , , , .

    +                                                 +  

          0          -          2          -      4    

                                                             

 

 – т. максимума,

- т. минимума.

- функция возрастает, - функция убывает.

5.

Т.к. в нуль не обращается, то точек перегиба нет.

              +   

     -     2     

                   

- направление выпуклости графика  вверх, а на - вниз.

6. Эскиз графика

 

2. Найти локальные  экстремумы функции 

Решение

Первые  частные производные функции  имеют вид

= , = .

Для нахождения подозрительных на локальный экстремум  точек необходимо решить систему  уравнений:

Следовательно, O₁ (0;0) и O₂ (-1;1) – точки возможного экстремума.

Определяем  вторые частные производные:

, , .

,

, т.е. в точке O₁ (0;0) экстремума нет.

, . Значит, в точке O₂ (-1;1) функция имеет строгий локальный максимум, при этом .

Ответ: - точка локального максимума.

 

3. Определить  экстремумы функции  , если , , .

Решение

Составляем  функцию Лагранжа , где - неопределенный числовой множитель.

Ее первые производные равны  , .

Составляем  и решаем систему уравнений:

При , O (10;10) – точка возможного экстремума.

Определяем  вторые производные функции Лагранжа

, , .

Составляем  выражение:

.

Находя  производные:

, и подставляя их в равенство , получаем связь или .

Значит, .

При , , . В точке O (10;10) функция имеет строгий условный минимум.

Ответ: - строгий условный минимум.

 

3. Интегральное  исчисление функции одного переменного

 

1-3. Найти  неопределенный интеграл

1. .

2.

.

3. .

4. Вычислить 

Решение

.

Ответ: .

 

5. Определить площадь плоской  фигуры, ограниченной кривыми  ,

Решение

,

Ответ: .

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – М.: Наука, 1980, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980, 1984.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981, 1985.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 1984.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980, ч. I, II.
7. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М. Физматгиз, 1962-1963; М.: Наука, 1964-1975.
8. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под. Ред. БП. Демидовича. – М.: Физматгиз, 1959-1963; М.: Наука, 1964-1978.
9. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Гостехиздат, 1954-1956; М.: Физматгиз, 1958-1963; М.: Наука, 1965-1980.
10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М.: Наука, 1970-1985, т.1, 2.