Контрольная работа по "Высшей математике"

Томский межвузовский центр дистанционного образования

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высшая математика -3

 

 

Контрольная работа № 9

 

Вариант № 8

Выполнил:

студент гр. з-820-a

Специальности 80105

 

 

 

 

 

 

 

2011 г

Вариант №8

Задание 9.1.8

Исходя из определения, найти сумму следующих рядов

Разложим  на элементарные дроби

 

 

В этой сумме все слагаемые  сокращаются попарно кроме первого  и последнего

 

 

Задание 9.2.8

Исследовать на сходимость следующие  ряды:

1.

а) Проверим условия Лейбница

1) 

2) 

 

1) при n=1

    при n=2

 выполнено

 

2)

- выполнено

 

Следовательно ряд сходится

 

б) Исследуем на сходимость

Используем признак Даламбера

 

 

2.

Исследуем на сходимость по признаку Даламбера

 

 

 на основании признака  Даламбера ряд расходится

5.

Данный знакочередующийся  ряд сходится по признаку Лейбница

т.к.

и

 

рассмотрим ряд из модулей

 ряды сходятся и расходятся  одновременно

Применим интегральный признак Коши

 ряд расходится

 расходится и ряд 

 сходится условно

 

6.

Для того чтобы сходился данный ряд  , чтобы сходилась его действительная и мнимая части.

сходится условно

 сходится

 сходится условно

 

 

Задание 9.3.8

 

Найти область сходимости указанных  рядов. Ответ записать в виде промежутков:

а)

Применим признак Даламбера

 

 ряд сходится

1)

      +                  -                    +

      -2          -2/3

 

2)

 

 при любом x

Интервал сходимости

при : ряд расходящийся, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости.

 

при : ряд расходится

 область сходимости 

 

б)

Используем признак  Даламбера

 

 

При ряд сходится

При ряд расходится

 интервал сходимости 

 

Задание 9.4.8

Найти радиус сходимости данного степенного ряда и сумму  этого ряда, применяя теоремы дифференцирования и интегрирования рядов.

 

 

 

 

 

Задание 9.5.8

Найти три первых члена  отличных от нуля, разложения в ряд  Тейлора в окрестности точки  данных функций. В ответ ввести третий член.

 

Используем разложение

Третий член в разложении

 

 

Задание 9.6.8

Пользуясь разложением  данной функции в ряд Тейлора, найти значения производных указанного порядка в указанной точке:

Используем разложение биноминального ряда:

Искомая производная  найдется из соотношения:

 

 

 

 

 

Задание 9.7.8

Вычислить приближённо  с точностью a=0,001 следующие интегралы

 

Используем разложение:

 

 

 

Задание 9.8.8

Следующие функции разложить  в ряд Лорана в данной области. В ответ ввести указанные коэффициенты полученного ряда:

Разложим данную функцию  на элементарные дроби

 

 

 

Задание 9.10.8

Вычислить указанные  вычеты:

а)

 

б)