Контрольная работа по "Высшей математике"

 

 

 

Видим, что по полученным оценкам сильно отличается от истинного значения

2. найти доверительный интервал для генеральной средней на уровне значимости при неизвестной и известной дисперсии;

При известной  генеральной дисперсии

Доверительный интервал I для математического ожидания при известной дисперсии с доверительной вероятностью

 

Где точность оценки равна

 

Заметим, что истинное значение генеральной средней оказалось внутри доверительного интервала  .

При неизвестной генеральной дисперсии

Введём уровень значимости . Тогда, имеем число степеней свободы , и доверительный интервал I имеет вид:

 

Где точность оценки равна

Вычислим границы доверительного интервала:

 

Заметим, что истинное значение генеральной средней оказалось внутри доверительного интервала  .

3. найти доверительный интервал для генеральной дисперсии.

Доверительный интервал для  неизвестной дисперсии по выборке  объёма  имеет вид:

 

По таблице, находим  и и получаем доверительный интервал для неизвестной генеральной дисперсии:

 

Заметим, что истинное значение генеральной дисперсии  оказалось внутри доверительного интервала  .

Задача 338. На уровне значимости выяснить существенность влияния содержания катализатора на время химической реакции.

содержание катализатора	Номер эксперимента
	1	2	3	4	5
5%	5,9	6,0	7,0	6,5	5,5
10%	4,0	5,1	6,2	5,3	4,5
15%	8,2	6,8	8,0	7,5	7,0

Решение.

С целью оценки влияния  фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина

 

содержание катализатора	Номер эксперимента					Групповая средняя
	1	2	3	4	5
5%	5,9	6,0	7,0	6,5	5,5	6,18
10%	4,0	5,1	6,2	5,3	4,5	5,02
15%	8,2	6,8	8,0	7,5	7,0	7,50

Находим общую среднюю:

 

Для расчета общей суммы  квадратов отклонений вариант от общей средней воспользуемся формулой:

 

Для этого составляем таблицу  квадратов:

 

 

	1	2	3	4	5	сумма
5%	34,8	36,0	49,0	42,3	30,3	192,3
10%	16,0	26,0	38,4	28,1	20,3	128,8
15%	67,2	46,2	64,0	56,3	49,0	282,7

Итак,

 

Находим факторную сумму  квадратов отклонений групповых  средних от общей средней по формуле:

 

 

Остаточная сумма квадратов  отклонений получается как разность:

 

Определяем факторную  и остаточную дисперсии:

 

 

Отсюда находим

 

Для чисел степеней свободы  2 и 12, находим из таблицы распределения Фишера-Снедекора:

;

Итак, оказалось, что на уровнях  , и, следовательно, на данных уровнях значимости фактор существенно влияет на случайную величину.

Задача 348. Методом линейного корреляционного анализа исследовать связь между средним доходом на семью (тыс. долларов) и разводов на 1000 жителей. Данные взяты в 9 штатах США.

	4,9	6,3	6,4	6,2	5,8	4,2	4,9	6,7	6,0
	1,2	1,1	0,4	2,4	2,7	1,2	1,5	3,1	1,9

Решение.

1) По данным таблицы  составим уравнение регрессии  по :

1	4,9	1,2	24,01	1,44	5,88
2	6,3	1,1	39,69	1,21	6,93
3	6,4	0,4	40,96	0,16	2,56
4	6,2	2,4	38,44	5,76	14,88
5	5,8	2,7	33,64	7,29	15,66
6	4,2	1,2	17,64	1,44	5,04
7	4,9	1,5	24,01	2,25	7,35
8	6,7	3,1	44,89	9,61	20,77
9	6	1,9	36,00	3,61	11,40
сумма	51,4	15,5	299,28	32,77	90,47
среднее	5,71	1,72	33,25	3,64	10,05

 

 

 

Итак,

2) Найдем коэффициент корреляции

 

 

3) Выяснить тесноту линейной  зависимости между и .

Теснота (сила) линейной связи между случайными величинами определяется абсолютной величиной коэффициента корреляции по следующей шкале:

0 ≤ | r | < 0,2	0,2 ≤ | r | < 0,5	0,5 ≤ | r | < 0,75	0,75 ≤ | r | < 0,95	0,95 ≤ | r | < 1	| r | = 1
практически нет связи	связь слабая	связь средняя (умеренная)	связь тесная (сильная)	связь очень сильная, практически  функциональная	величины связаны линейной функциональной зависимостью

В нашей задаче, . Можно делать вывод о том, что связь линейной зависимости между и слабая.