Контрольная работа по "Теория вероятности"

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобрано 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

РЕШЕНИЕ

Всего в цехе работают человек.

Событие - из отобранных 7 человек, 3 окажутся женщинами (значит, 4 –мужчины).

Вероятность события  найдем по формуле классической вероятности события: , где - количество способов отобрать 3-х женщин из 4-х и 4-х мужчин из 6-ти, - количество способов выбрать 7 человек из 10.

Ответ. .

 

 

2.  В первом ящике 20 деталей, из них 15 деталей стандартные;  во втором ящике 30 деталей, из них 24 детали стандартные; в третьем ящике 10 деталей, из них 6 деталей стандартные.

a) Какова вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наугад взятого ящика стандартна?

b) Наудачу извлеченная деталь из наугад взятого ящика оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из третьего ящика.

РЕШЕНИЕ

Выдвинем гипотезы:

- наудачу выбран первый ящик;

- наугад выбран второй ящик;

- наугад выбран третий ящик.

Событие - наудачу взята стандартная деталь.

.

а) По формуле полной вероятности:

.

.

б)  По формуле Байеса: .

.

Ответ. а) , б) .

 

 

3. В урне 7 белых и 3 черных шара. Последовательно вынимают 3 шара, причем каждый шар возвращается в урну перед тем, как вынуть следующий. Найти вероятность того, что два вынутых шара белые.

РЕШЕНИЕ

Всего в урне шаров.

Событие - два вынутых шара их трех окажутся белыми.

События - первый, второй и третий шары соответственно окажутся белыми.

Т.к. каждый шар возвращается в урну перед тем, как вынуть следующий, то .

Тогда вероятность вынуть черный шар: .

2 шара будут белыми  в 3-х случаях:  . Эти события являются несовместными. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумму их вероятностей.

Ответ. .

 

 

4. Случайная величина Х задана рядом распределения:

                                           

xi	45	52	55	58	65
pi	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1

 

Вычислить математическое ожидание случайной  величины m_X, дисперсию D_X, среднее квадратическое отклонение σ_X. Построить график функции распределения F(x). Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение больше 55.

РЕШЕНИЕ

Математическое ожидание находим  по формуле: .

Дисперсия случайной величины: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Функция распределения СВ задается формулой:

Построим график найденной функции  распределения.

Вероятность  того, что случайная величина X примет значение больше 5,8

 

 

5. Случайная величины Х, распределенная по нормальному закону, задана плотностью вероятности 

Найти математическое ожидание случайной величины m_X, дисперсию D_X, среднее квадратическое отклонение σ_X, вероятность попадания случайной величины в интервал [-3, 0].

РЕШЕНИЕ

Плотность вероятности  случайной величины , распределенной по нормальному закону, задается формулой: ,

В нашем случае: .

Тогда - математическое ожидание, - дисперсия, - среднее квадратическое отклонение случайной величины , распределенной по нормальному закону.

Вероятность попадания  случайной величины в интервал найдем по формуле: .

Найдем значение функции  Лапласа.

.

 

 

 

6. Случайная величина Х равномерно распределена на участке [2, 10]. Построить график плотности вероятности случайной величины X, определить значение плотности вероятности случайной величины на участке [2, 10], найти математическое ожидание случайной величины, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, вероятность попадания в интервал [2, 5].

РЕШЕНИЕ

Плотность вероятности  равномерно распределенной случайной  величины находим по формуле:

Построим график плотности  вероятности.

 

Математическое ожидание равномерного распределения: .

Дисперсия: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Вероятность попадания  равномерно распределенной случайной  величины в интервал находим по формуле:

 

 

 

 

7. По выборке, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, построить ряд распределения, найти точечные оценки математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, несмещенную оценку дисперсии. Найти доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности β = 0,95, (здесь только использовать для решения вторую таблицу)

 

32	33	35
36	38	41
42	42	36
38	36	44
41	35	36
38	41	36
38	36	36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ

Построим ряд распределения.

	32	33	35	36	38	41	42	44
	1	1	2	7	4	3	2	1

 

Точечной оценкой математического  ожидания является несмещенная средняя:

 

Точечная оценка дисперсии:

Точечная оценка стандартного отклонения: .

Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания по выборочным средним, при  и заданной надежностью .

Из соотношения  найдем . Из таблицы Лапласа:

Точность оценки: .

Тогда доверительный интервал для  математического ожидания: .

Доверительный интервал для оценки дисперсии.

По таблице значений функции  -критерия  при заданных и находим: .

Тогда .