Контрольная работа по "Теория вероятности"

 

 

Вариант 7

 

Задача 1.

Ребенок играет с карточками, на которых написаны буквы слова  РАДУГА. Он берет  четыре карточки и раскладывает их в ряд слева направо. Какова вероятность  того, что получится слово ГРАД?

Решение.

Слово ГРАД получится, если поочередно укладывать карточки с буквами Г, Р, А, Д.

Тогда искомая  вероятность равна:

Р(А)=

Ответ:

 

Задача 2.

В первой бригаде 6 тракторов, во второй – 9. В каждой бригаде один трактор требует  ремонта. Из каждой бригады наудачу  выбирают по одному трактору. Какова вероятность  того, что: а) оба трактора исправны; б) один требует ремонта; в) трактор  из второй бригады исправен.

 

Решение.

Введем обозначения:

Событие А – трактор из первой бригады исправен, тогда событие – трактор из первой бригады не исправен (требует ремонта). Р(А)=5/6, Р()=1/6

СобытиеВ  – трактор из второй бригады исправен, тогда событие – трактор из второй бригады не исправен (требует ремонта). Р(В)=8/9, Р()=1/9

а) событие С - оба трактора исправны, т.е. С=АВ

Так как события  А и В независимы, то Р(С)=Р(АВ)=Р(А)Р(В)=

б) событие Д - один требует ремонта, т.е. Д=А+В

Р(Д)=Р(А)Р()+Р()Р(В)=

в) событие Е - трактор из второй бригады исправен, т.е. Е= АВ+В

Р(Е)= Р(А)Р(В)+Р()Р(В)=

Ответ: ;  ;  .

 

Задача 3.

Имеются две  урны. В первой – 7 красных шаров  и 3 черных, во второй – 3 красных и 4 черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем, перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти вероятность того, что  шар, извлеченный после этого  из первой урны, окажется красным.

 

Решение.

Введем обозначения:

Гипотеза  Н₁ – из первой урны во вторую переложили красный шар, а затем из второй урны переложили в первую красный шар, Р(Н₁)=

Гипотеза  Н₂ – из первой урны во вторую переложили красный шар, а затем из второй урны переложили в первую черный шар, Р(Н₂)=

Гипотеза  Н₃ – из первой урны во вторую переложили черный шар, а затем из второй урны переложили в первую красный шар, Р(Н₃)=

Гипотеза  Н₄ – из первой урны во вторую переложили черный шар, а затем из второй урны переложили в первую черный шар, Р(Н₄)=

Событие В – из первой урны вынули красный шар,

Р(В/Н₁)=, Р(В/Н₂)=, Р(В/Н₃)=, Р(В/Н₄)=,

Тогда по формуле  полной вероятности 

Р(В)=

Ответ: 0,67625

Задача 4.

В автопарке 400 автомобилей. Вероятность безотказной  работы каждого из них равна 0,9. С  вероятностью 0,95 определить границы, в  которых будет находиться доля безотказно работавших машин в определенный момент времени.

Решение.

Воспользуемся формулой:

 

 

 

Так как 2Ф(1,96)=0,95, то

 

Найдем искомые  границы из неравенства:

 

 

 

Ответ:

 

Задача 5.

В коробке  имеются 10 карандашей, среди которых 6 красных. Наудачу извлекаются 4 карандаша. Составить закон распределения  случайной величины – числа извлеченных красных карандашей. Найти числовые характеристики ,  , ,  функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

Решение.

Случайная величина Х – число извлеченных красных  карандашей, может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Найдем соответствующие вероятности.

 

Р(Х=0)=

 

Р(Х=1)=

 

Р(Х=2)=

 

 

Р(Х=3)=

 

Р(Х=4)=

Тогда закон  распределения случайной величины Х имеет вид:

Х	0	1	2	3	4
р	1/210	4/35	3/7	8/21	1/14

 

Проверка:

Построим  полигон распределения вероятностей:

Найдем числовые характеристики СВ Х:

М(Х)=

D(Х)=

 

Составим функцию распределения  СВ Х:

 

 

Построим график функции: