Контрольная работа по «Теории вероятности и математической статистике»

Задача  1.

Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.

Решение.

Число возможных исходов n=36! 
Число благоприятствующих 4!32!

P = (15*4!*32!)/36! (умножаем на 15, т.к. тузы могут занимать позиции 1 8 15 22.......15 22 29 36 (всего 15) ).

 

Задача 2.

Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице.

Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечен при втором извлечении.

Решение:

Рассмотрим 2 события для 1-го вынутого шара: 
А1 - вынут шар 1 p(A1) = 1/n 
А2 - вынут шар 2,3,4,…, n  p(A2) = (n-1)/n 
Для второго вынутого шара: 
B - вторым вынут шар 2 
p(B/A1) = 1/(1/n)=n 
p(B/A2) = 1/(n-1)/n =n/ (n-1) 
По формуле Байеса p = n * n/(n-1) + 1/n * (n-1)/n = n2/(n-1) + (n-1)/n2

 

Задача 3.

Из 2 близнецов первым родился мальчик. Какова вероятность, что вторым тоже

родится мальчик, если среди близнецов вероятность рождения 2 мальчиков и 2 девочек соответственно равна p и q, а для разнополых близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова?

Решение:

Если бы все вероятности были равными, то Р(м)=1/2, т.к. Р(м)+Р(д)=1. 
Даны различные вероятности, но в сумме они должны быть равны 1. 
Отсюда Р(м)=р/(р+q) , P(д)=q/(p+q) . В сумме они: (p+q)/(p+q) = 1.

Тогда p/(p+(1-p-q))

 

Задача 4

Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок:

а) ровно 2; б) более 2; в) хотя бы одну.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Пуассона

Рассмотрим события: 
А1 - не разбита ни одна бутылка; 
А2 - разбита 1 бутылка; 
А3- разбито 2 бутылки. 
Найдем вероятности этих событий. 
nр=1000*0,003=3 
Р(А1)=Р(от 0 по 2)=  
Р(А2)=Р( от1 по2) =  
Р(А3) = Р( от2 по 2) =

 

Задача 6

Два стрелка независимо друг от друга сделали по n выстрелов в мишень. Вероят-ность попадания при каждом выстреле для первого стрелка равна p1, а для второго эта вероятность равна p2. Пусть X – случайная величина, равная общему числу попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величиныX .

Зад 8

ВНИМАНИЕ !!! Во всех задачах данного раздела по опытным данным:

а) установить гипотетический закон распределения случайной величины;

б) найти его параметры;

в) вычислить гипотетические частоты;

г) пользуясь критерием согласия Â

2

, установить, согласуются ли опытные  данные с пред-положением о распределении случайной величины по избранному гипотетическому закону.

Уровень значимости принять равным *) 0,05 и **) 0,005.

Получены следующие опытные данные:

 

Распределение 200 радиоламп по сроку службы:

Срок службы, ч   Кол - во ламп   Срок службы, ч    Кол - во ламп

300 - 500                   10                     900 – 1100                    43

500 - 700                    51                        1100 - 1300                  4

700 - 900                      92