Контрольная работа по "Теории вероятности"

Page 1

3
Задача 10
Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому установлен месяч-
ный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с веро-
ятностью 0,4. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А
выполнит свой план, равна 0,25. Известно также, что с вероятностью 0,2 может
сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.
Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предпри-
ятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; если оба не выполнят - снимет со
счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счёт
только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит
свой счёт на 1 единицу.
Требуется:
1) определить вероятность выполнения плана цехом В;
2) выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не
выполнит свой план цех В;
3) найти вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со счёта
в банке;
4) определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) из-
менится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в пред-
стоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке).
0B
Решение
Указанные в задаче события полезно представить графически с помощью
диаграммы Эйлера-Венна (рисунок 1).
A B

A B

A B

A B

A
B
Рисунок 1 - Диаграмма Эйлера-Венна.

---

Page 2

4
1) По условию задачи дано:
 
2,
0
)
(
;
25
,0
;4,
0
)
(




B
A
P
B
P
A
P
A
.
Так как
)
(
1
)
(
B
A
P
B
A
P




, а
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
A








Тогда


)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
A
P
A
A












,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
B
P
A
P
B
A
P
A
P
B
P
A





.
Получим вероятность выполнения плана цехом В:
5,
0
1,
0
6,
0
1
25
,0
4,
0
2,
0
4,
0
1
)
(









B
P
.
2) Найдём условные вероятности
и
)
(A
P
B
)
(A
P
B
:
.6,
0
5
3
5,
0
3,
0
5,
0
1
1,
0
4,
0
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,2,
0
5
1
5,
0
1,
0
5,
0
25
,0
4,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

















B
P
AB
P
A
P
B
P
B
A
P
A
P
B
P
B
P
A
P
B
P
AB
P
A
P
B
A
B
Тогда, так как
)
(A
P
B

)
(A
P
B
, то выполнение плана цехом A зависит от то-
го, выполнит или не выполнит свой план цех В.
3) Предприятию придётся снимать деньги со счёта в банке при наступле-
нии событий:
B
A
и
B
A
. Найдём вероятности этих событий:
2,
0
)
(
,4,
0
1,
0
5,
0
)
(
)
(
)
(








B
A
P
AB
P
B
P
B
A
P
- по условию.
Тогда вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со
счёта в банке, равна 0,4+0,2=0,6.
4) Из условия задачи следует, что по своему характеру случайная величина Х
(изменение счёта предприятия в банке) является дискретной. Множество ее
возможных значений конечно и состоит из четырех элементов, которые целесо-
образно расположить в порядке возрастания и обозначить соответственно через
x
R
1
R
= -4, x
R
2
R
= -1, x
R
3
R
= 2, x
R
4
R
= 5.
В итоге ряд распределения случайной величины Х распределен полно-
стью:

---

Page 3

5
x
R
i
x
R
1
R
= -4
x
R
2
R
= -1
x
R
3
R
= 2
x
R
4
R
= 5
p
R
i
p
R
1
R
= 0,2
p
R
2
R
= 0,4
p
R
3
R
= 0,3 p
R
4
R
= 0,1
p
R
1
R
=
2,
0
)
(

B
A
P
, p
R
2
R
=
4,
0
)
(

B
A
P
,
p
R
3
R
=
3,
0
1,
0
4,
0
)
(
)
(
)
(






AB
P
A
P
B
A
P
, p
R
4
R
=
. 1
,0
)
(

B
A
P
Зная ряд распределения случайной величины Х, ее математическое ожи-
дание m
R
x
R
найдем по формуле



4
1
i
i
i
x
p
x
m
:
m
R
x
R
= – 4 0,2– 1 0,4 + 2 0,3 + 5




0,1 = – 0,8– 0,4+0,6+0,5=-0,1.
Значит, в среднем предприятие уменьшит свой счёт в банке на 0,1 еди-
ниц.

---

Page 4

6
1B
Задача 35
Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товара-
ми. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной
день может поступить на базу с вероятностью p=0,50, причём независимо от
других магазинов.
Требуется:
1) определить минимальное количество магазинов (n
R
0,80
R
), с которыми база
должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,80 от них
поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;
2) при найденном в пункте 1) значении n
R
0,80
R
определить:
а) наиболее вероятное число заявок (m*) на обслуживание на очередной
день и вероятность поступления такого количества заявок;
b) вероятность поступления не менее (n - 1) заявок;
c) математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание
на очередной день.
Решение
1) Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя
бы один раз, определим по формуле
.
P (X 1) 1 (1
)
n
n
p
   
Получим:
,
322
,2
69314718
,0
609437912
,1
5,
0
ln
2,
0
ln
,5,
0
ln
2,
0
ln
,)
5,
0
1(
2,
0
,)
5,
0
1(
8,
0
1
,
80
,0
)
50
,0
1(
1
)1
(

















n
n
X
P
n
n
n
n
тогда n=3.
2) n
R
0,80
R
=3.
a) Наиболее вероятное значение m* случайной величины Х найдем из условия
* [
;
]
m
np q np
p



.
В нашем случае при n=3 и p=0,5, q=1–p=0,5 оно принимает
вид

  
2;
1
5,
0
5,
0
3
;5,
0
5,
0
3
*






m
.

---

Page 5

7
Отсюда m*=1 или m*=2 , тогда
375
,0
5,
0
!2!
1
!3
5,
0
5,
0
)1
(
3
2
1
1
3







C
X
P
.
375
,0
5,
0
!2!
1
!3
5,
0
5,
0
)2
(
3
1
2
2
3







C
X
P
.
b) n-1=3-1=2. То вероятность поступления не менее (n-1)=2 заявок равна:
.5,
0
125
,0
375
,0
5,
0
!0!
3
!3
375
,0
5,
0
5,
0
375
,0
)3
(
)2
(
3
0
5
3
3













C
X
P
X
P
с)
Для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с
параметрами n и p, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по
формулам:
npq
D
np
m
x
x

 ,
.
В нашем случае при n=3 и p =0,5 имеем
.
075
5,
0
5,
0
3
,5,
1
5,
0
3







x
x
D
m

---

Page 6

8
2B
Задача 59
В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух
марок - A и B. В течение дня продаётся X машин марки A и Y машин марки
B, причём независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни.
Машина марки A стоит 5 ед., машина марки B - 7 ед.
Закон распределения вероятностей системы (X,Y) задан таблицей:
Таблица 1 – Исходные данные
x
R
i
y
R
i
0
1
2
0
0,08
0,10
0,03
1
0,08
0,28
0,13
2
0,04
0,21
0,05
Требуется:
1) определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим
спросом;
2) выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки A от числа про-
данных автомашин марки B;
3) найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона;
4) оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выруч-
ки относительно среднего значения.
Пояснение: считать, что если P(Х >Y) > P(Y >X), то машины марки A
пользуются большим спросом, чем машины марки B.
Решение
1) Найдём вероятность P(Х >Y) и P(Y >X):
P(Х >Y)=P(x=1,y=0)+ P(x=2,y=0)+ P(x=2,y=1)=0,08+0,04+0,21=0,33,
P(Y >X)= P(y=1,x=0)+ P(y=2,x=0)+ P(y=2,x=1)=0,10+0,03+0,13=0,26.
Таким образом, мы видим, что P(Х >Y) >(Y >X), так как 0,33>0,26. Тогда
машины марки B пользуется в автосалоне наименьшим спросом.

---

Page 7

9
2) Для выяснения вопроса о том, зависимы или нет случайные величины X и Y,
поступим следующим образом. Последовательно, ориентируясь на клетки таб-
лицы 1, вычислим соответствующие произведения p
R
i

R
q
R
j
R
и сравним их с веро-
ятностями p
R
ij
R
, стоящими в этих клетках: если встретится клетка, для кото-
рой p
R
i

R
q
R
j
R
≠ p
R
ij
R
,
R R
то сделаем вывод о том, что случайные величины X и Y явля-
ются зависимыми; если же равенство p
R
i

R
q
R
j
R
= p
R
ij
R
выполняется для всех клеток
табл.1, то последует вывод о независимости случайных величин X и Y.
Итак, для клетки (1,1):
p
R
1
R
q
R
1
R
= (0,08+0,10+0,03)
R
R
(0,08+0,08+0,04)=0,21


R

R
0,20=0,0420, но p
R
11
R
=0,08; сле-
довательно, случайные величины X и Y зависимы.
Тогда число проданных автомашин марки A зависит от числа проданных
автомашин марки B.
3) Найдем частные распределения вероятностей системы (X,Y). Возможные
значения случайных величин X и Y прямо указаны в таблице 1, а вероятности
этих значений легко вычисляются по формулам:
3,
2,
1
,
)
(
3
1





i
p
p
x
P
j
ij
i
i
,
.
3,
2,
1
,
)
(
3
1





j
p
q
y
P
i
ij
j
j
В итоге получаем ряд распределения случайной величины X:
Таблица 2 - ряд распределения случайной величины X
x
R
i
x
R
1
R
=0
x
R
2
R
= 1
x
R
3
R
= 2
p
R
i
p
R
1
R
= 0,21
p
R
2
R
= 0,49
p
R
3
R
= 0,30
и ряд распределения случайной величины Y:
Таблица 3 - ряд распределения случайной величины Y
y
R
i
y
R
1
R
= 0
y
R
2
R
= 1
y
R
3
R
= 2
q
R
j
q
R
1
R
= 0,20
q
R
2
R
= 0,59
q
R
3
R
= 0,21
Используя полученные данные, определяем числовые характеристики
случайных величин X и Y:

---

Page 8

10
 
;
5019
,0
1881
,1
2,
1
49
,0
0
09
,1
30
,0
2
49
,0
1
21
,0
0
;
09
,1
60
,0
49
,0
0
30
,0
2
49
,0
1
21
,0
0
2
2
2
2
2
3
1
2
3
1





























x
i
i
i
x
i
i
i
x
m
p
x
D
p
x
m
 
.
4099
,0
0201
,1
84
,0
59
,0
0
01
,1
21
,0
2
59
,0
1
20
,0
0
;
01
,1
42
,0
59
,0
0
21
,0
2
59
,0
1
20
,0
0
2
2
2
2
2
3
1
2
3
1





























y
j
j
j
y
j
j
j
y
m
p
y
D
q
y
m





y
x
m
m
F
7
5
Среднюю (ожидаемую) дневную выручку автосалона найдём по формуле
5

1,09+7

1,01=5,45+7,07=12,52.
4) Найдем дисперсию случайной величины Z=aX+bY, то
xy
y
x
z
abk
D
b
D
a
D
2
2
2



.
В нашем случае имеем a=5, b=7,
 
y
x
xy
m
m
XY
M
k


.
Для нахождения
используем формулу

XY
M

 




3
1
3
1
i
j
ij
j
i
p
y
x
XY
M
.
Теперь, используя данные таблицы 1, получим
 
16
,1
20
,0
26
,0
42
,0
28
,0





XY
M
.
В итоге
0591
,0
01
,1
09
,1
16
,1




xy
k
.
Искомая дисперсия равна
.
064
,6
),
(
7696
,
36
137
,4
0851
,
20
5475
,
12
0591
,0
7
5
2
4099
,0
49
5019
,0
25
2
единиц
D
ед
D
z
z














Значит, возможные отклонения дневной выручки относительно среднего
значения равны 6,064 единиц.

---

Page 9

11
Задача 63
Торговая фирма располагает разветвлённой сетью филиалов и есть осно-
вания считать, что её суммарная дневная выручка X является нормально рас-
пределённой случайной величиной. Выявленные значения этой величины по
100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
(x
R
i-1
R
;x
R
i
R
) (0;5) (5;10) (10;15) (15;20) (20;25) (25;30) (30;35) (35;40)
n
R
i
4
7
15
20
24
22
5
3
Требуется:
1) построить гистограмму относительных частот;
2) определить несмещённые оценки для неизвестных математического ожи-
дания m
R
х
R
и дисперсии
2
x
x
D


случайной величины X;
3) найти 95-процентные доверительные интервалы для m
R
х
R
и
x

.
Решение
1) В условиях данной задачи естественно исходить из того, что наблю-
даемая случайная величина X – дневная выручка торговой фирмы – имеет не-
прерывное распределение вероятностей. Статистическим аналогом графика
плотности распределения такой случайной величины является гистограмма.
Она представляет собой совокупность прямоугольников, построенных на выде-
ленных интервалах наблюдённых значений случайной величины X как на ос-
нованиях. Площадь каждого i – ого прямоугольника равна относительной час-
тоте p
R
i
RP
*
P
i -ого интервала, определяемой по формуле
.1
,
8
1
*
*



i
i
i
i
p
что
так
n
n
p
Отсюда высота i – ого прямоугольника вычисляется как
i
i
x
p

*
, где
i
x
– дли-
на i-ого интервала (в нашей задаче
i
x
=
x

=5 для всех
8,
1
i
).
Полная площадь гистограммы, таким образом, будет равна единице.

---

Page 10

12
На основании изложенного для построения гистограммы составим следую-
щую таблицу:
Таблица 4 – Расчетная таблица для построения гистограммы
i
1
2
3
4
5
6
7
8
(x
R
i-1
R
;x
R
i
R
)
(0;5) (5;10) (10;15) (15;20) (20;25) (25;30) (30;35) (35;40)
n
R
i
4
7
15
20
24
22
5
3
p
R
i
RP
*
0,04
0,07
0,15
0,20
0,24
0,22
0,05
0,03
x
n
n
h
i
i


0,008
0,014
0,03
0,04
0,048
0,044
0,01
0,006
i
h
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0 5 10 15
20 25
30 35 40 x
Рисунок 2 – Гистограмма приведенных относительных частот
Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение
вероятностей нормальным.
2) Несмещённые оценки
найдём по формулам:
*
*
x
x
D
и
m

---

Page 11

13
,
)
(
1
,
8
1
*
2
*
*
8
1
*
*










i
i
x
i
x
i
i
i
x
p
m
x
n
n
D
p
x
m
где x
R
i
R
– середина i – ого интервала.
Все необходимые вычисления для удобства и наглядности проведём в рам-
ках следующей таблицы:
Таблица 5 – Расчет математического ожидания и дисперсии
i
1
2
3
4
5
6
7
8
x
R
i
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
p
R
i
RP
*
0,04
0,07
0,15
0,20
0,24
0,22
0,05
0,03
x
R
i
R
p
R
i
RP
*
0,1 0,525
1,875
3,5
5,4
6,05 1,625
1,125
*
x
m
= 20,2 усл. ден. ед.
| x
R
i
R
-
|
*
x
m
17,7
12,7
7,7
2,7
2,3
7,3
12,3
17,3
(x
R
i
R
-
)
P
2
*
x
m
313,29 161,29
59,29
7,29
5,29
53,29 151,29 299,29
(x
R
i
*
x
)
P
2
P
R
p
R
i
RP
*
-
m
12,531
6
11,290
3
8,8935
1,458 1,2696 11,723
8
7,5645 8,9787
4,
64
99
6371
71
,
63
1
100
100
*





x
D
(усл. ден. ед.)
P
2
Таким образом,
= 20,2 усл. ден. ед.,
64,4 (усл. ден. ед.)
P
2
P
.
*
x
m

*
x
D
3) Доверительный интервал для неизвестного m
R
x
R
имеет вид:








*
*
;
x
x
m
m
I
, где γ
R
R
= 0,95, а m
R
x
R
*=20,2.
Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним
квадратическим отклонением, то величина δ определяется по формуле
,
n
x
x





где σ
R
x
R
= 8,025, n = 100, а x
R
γ
R
есть аргумент функции Лапласа Ф(x), при котором
0,95
Ф( )
0,475.
2
2
x


 

По таблице приложения 2 в [2] находим x
R
γ
R
= 1,96.

---

Page 12

14
Тогда

 
6,
18
57
,1
2,
20
;
1
2,
20





77
,
21
;3
57
,
,
57
,1
100
025
,8
96
,1
95
,0










I
n
x
x
.
Доверительный интервал для σ
R
x
R
имеет вид:
В итоге I
R
γ=0,95
R
=(18,63; 21,77).




(1 ); (1
) при
1,
I
0; (1 ) при
1,
s
q s
q
q
s
q
q












где s =8,025,
а величина q определяется по таблице приложения 4 в [2] по γ = 0,95 и n = 100:
q = 0,143.
Тогда
I
R
γ=0,95
R
=(8,025

(1–0,143); 8,025

(1 + 0,143)).
В итоге I
R
γ=0,95
R
=(6,877425; 9,172575)=(6,9; 9,2).

---

Page 13

15
Задача 87
По результатам 10 замеров времени X изготовления детали определены
выборочное среднее 66,79 и исправленная дисперсия 10. Полагая распределе-
ние случайной величины X нормальным, на уровне значимости 0,02 решить,
можно ли принять а
R
0
R
=70 в качестве нормативного времени изготовления дета-
ли.
Пояснение: Основную гипотезу
0
0
:
a
m
H
x

проверить при альтернативной
гипотезе H
R
а
R
, указанной в исходных данных для решения задач
0
:
a
m
H
x
a

.
Решение
1. H
R
0
R
: m
R
x
R
= a
R
0
R
= 70.
2. H
R
a
R
: m
R
x
R
70.

3. Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с неиз-
вестными m
R
x
R
и σ
R
х
R
, то в качестве критерия проверки гипотез выберем распреде-
ление Стьюдента с
=10-1=9 степенями свободы
1

 n
k
)
,(
0
*
n
t
S
n
s
a
m
K
x



.
4. По виду Н
R
0
R
, Н
R
a
R
и К заключаем, что критическая область в данном случае
будет двусторонней.
Тогда
=2,82. Получим
=
=2,82, а
= –
= -2,82.
кр
k
пр
кр
k
кр
k
лев
кр
k
кр
k
5. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:
21
,3
10
10
70
79
,
66





набл
k
.
7. Так как
82
,2
21
,3



кр
набл
k
k
, то гипотеза
70
:
0

x
m
H
отвергается.

---

Page 14

16
Список использованных источников
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – 6-е изд. стер. – М.:
Высш. шк., 2007. – 576с.
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и ма-
тематической статистике. М.: Высшая школа, 2006. – 356c.
3. Гмурман В. Е.
Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
Высшая школа, 2007. – 542c.
4. Карасев А. И., Аксютина 3.М, Савельева Т. И. Курс высшей математики для
экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982, ч.2.
5. Кремер Н. Ш., Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник
для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 498c.