Контрольная работа по "Теории вероятностей"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

Ситуационная (практическая) задача № 1

Время ξ (в тыс. часах) до выхода из строя авиационного двигателя, выработавшего гарантийный ресурс в 2 тыс. часов, является случайным с плотностью распределения

• Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).
• Найти функцию распределения с.в. ξ и построить её график.
• Вычислить математическое ожидание (среднее значение) Мξ и дисперсию Dξ и среднее квадратическое (стандартное) отклонение рассматриваемой случайной величины
• Во сколько раз число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего?
• Решение:

1. Находим С из условия

Плотность распределения случайной величин x:

 

График функции p(x)

2. функцию распределения случайной  величин x:

 

График функции F(x)

Математическое ожидание: 

Дисперсия:  

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

Доля выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего:

Доля выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего:

Число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего

Ситуационная (практическая) задача № 2

При помощи дальномера произведено 25 измерений расстояния до некоторого объекта. Получены следующие результаты

9.863, 10.060, 9.985, 10.170, 10.050, 10.130, 10.440, 10.410, 10.180,9.890, 10.380, 9.709, 10.200, 9.977, 10.090, 10.130, 10.200, 10.320, 10.480, 10.130, 10.130, 10.030, 10.140, 10.190, 10.220

Необходимо:

• Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).
• В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.
• На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.
• Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
• Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.
• Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.
• С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 8;

б) генеральной дисперсии значению 1,25.

Решение:

1. Тип признака непрерывный, т.к. исходные цифры могут принимать любые дробные значения на определенном промежутке.

Разобьем данные на 4 равных интервала:

Длина интервала

 

 

Интервал

Гистограмма относительных частот

3. На основе анализа гистограммы  распределения выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения исследуемого признака.

4. Среднее значение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

5. Вводим гипотезы:

Исследуемый признак имеет нормальное распределение:

Исследуемый признак имеет другое распределение:

Условие принятия гипотезы

Вероятность попадания в интервалы:

Интервал
		0,08252	2,063	0,4256
		0,30855	7,7137	0,3807
		0,3969	9,9226	0,1170
		0,17619	4,4048	0,0804
Сумма				1,0037

, следует гипотезу о нормальном распределении исследуемого признака принимаем.

6. Доверительный интервал для генерального среднего, при доверительной вероятности 95%:

С вероятностью 95% генеральное среднее находится в интервале от до .

Доверительный интервал для генеральной дисперсии, при доверительной вероятности 95%:

С вероятностью 95% генеральная дисперсия находится в интервале от до .

7а. Вводим гипотезы:

Условие принятия гипотезы

Условие принятия гипотезы не выполняется , следует с вероятностью 99% генеральное среднее нельзя считать равным 8.

7б. Вводим гипотезы:

Условие принятия гипотезы

Условие принятия гипотезы не выполняется , следует с вероятностью 99% генеральную дисперсию нельзя считать равным 1,25.

 

 

 

Тестовые задания

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. Из 8 сотрудников отдела коммерческого банка, среди которых пятеро мужчин, а остальные женщины, случайным образом формируется комиссия из трех человек. Найти вероятность того, что в комиссии ровно двое мужчин.

А. 0,5357

Б. 0,0535

В. 0,9821

Г. 0,0179

 

2. На стройку от трех разных  поставщиков должны поступить  три партии материалов. Известно, что первый поставщик доставляет  материалы своевременно в среднем  в 82% всех случаев, второй – в 85%, третий – в 78%. Найти вероятность того, что из трех партий на стройку будет доставлена своевременно хотя бы одна.

А. 0,994

Б. 0,006

В. 0,5437

Г. 0,3686

 

3. Имеется коробка с 3 изделиями  одного образца, причем среди  них с одинаковой вероятностью  возможно любое количество бракованных изделий (от 0 до 3). Из коробки наудачу выбирается одновременно два изделия. Определить вероятность того, что среди извлеченных изделий будет одно бракованное.

А. 0,3333

Б. 0,6667

В. 0,25

Г. 0,75

 

4. На складе находятся одинаковые  изделия, изготовленные тремя заводами: первым заводом произведено 25% всех изделий, вторым – 20%, а остальные изделия с третьего завода. Известно, что из каждой сотни изделий удовлетворяют стандарту в среднем 90 изделий, изготовленных на первом заводе, 82 – на втором, 78 – на третьем. Для контроля качества наудачу берется одно изделие, которое оказалось стандартным. Найти вероятность того, что это изделие было изготовлено на третьем заводе.

А. 0,429

Б. 0,2751

В. 0,2005

Г. 0,5244

 

5. При опускании одной монеты  автомат срабатывает неправильно в среднем в 10 случаях из ста. Какова вероятность того, что при опускании 4 монет автомат сработает правильно ровно три раза?

А. 0,2916

Б. 0,0036

В. 0,9964

Г. 0,7084

 

6. По статистическим данным в  городе N в среднем 50% новорожденных  доживают до 60 лет. Какова вероятность, что из 6 новорожденных в одном из роддомов города N до 60 лет доживут хотя бы двое?

А. 0,1094

Б. 0,8906

В. 0,3438

Г. 0,6562

 

 

7. По результатам проверок налоговыми  инспекциями установлено, что в  городе N в среднем 18% малых предприятий нарушают финансовую дисциплину. Какова вероятность того, что из трехсот малых предприятий города N нарушения финансовой дисциплины будут иметь не менее 50, но не более 70 малых предприятий?

А. 0,718

Б. 0,2739

В. 0,9919

Г. 0,4919

 

8. Некоторая страховая компания выплачивает страховую сумму в среднем по 9% договоров. Сколько нужно застраховать клиентов, чтобы с вероятностью 0,94 можно было утверждать, что доля получивших страховую сумму среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности получения каждым клиентом страховой суммы не более, чем на 0,02?

А. 724

Б. 27

В. 8

Г. 94

 

9. Студент знает 20 вопросов из  имеющихся 30 вопросов программы  некоторой учебной дисциплины. На  экзамене ему предлагается три  наугад выбранных вопроса из  программы. Найти математическое ожидание и дисперсию числа известных вопросов студенту.

А.

Б.

В.

Г.

 

10. Из поступивших в ремонт  десяти часов семь нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Рассматривается случайная величина ξ – число просмотренных часов. Найти .

А. 0,3

Б. 0,0583

В. 0,0083

Г. 0,2333

 

Библиографический список

1. Гмурман, Владимир Ефимович. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман .- 9-е изд.,стер .- М. : Высш. шк., 2003 .- 478, [1] с. (МОРФ)
2. Гмурман, Владимир Ефимович. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман .- 11-е изд., перераб .- М. : Высш. образование, 2007 .- 404 с.
3. Высшая математика для экономистов : учеб. для вузов по экон. специальностям / [Н. Ш. Кремер и др.] ; под ред. Н. Ш. Кремера .- 3-е изд.- М. : ЮНИТИ, 2009 .- 478, [1] с. (МОРФ)