Контрольная работа по "Теории вероятностей и математической статистике"

МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

 

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа 
по дисциплине 
«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр.

 

 

 

 

 

 

 

Минск 2010

Содержание

Задача 5

Постановка задачи

Приведена схемы соединения элементов, на которых указаны вероятности исправной работы элементов. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится элемент. Предполагается, что элементы работают независимо друг от друга. Найти вероятность прохождения сигнала через цепь.

Решение

Вероятность неисправной работы цепочки, состоящей из параллельно соединённых элементов, равна произведению вероятностей неисправной работы каждого ветви цепочки.

Вероятность исправной работы цепочек, состоящих из параллельно соединённых элементов:

P₁₂ = 1 – (1 – P₁) × (1 – P₂) = 1 – 0,7 × 0,2 = 0,86,

P₃₄ = 1 – (1 – P₃) × (1 – P₄) = 1 – 0,3 × 0,3 = 0,91,

P₅₆ = 1 – (1 – P₅) × (1 – P₆) = 1 – 0,4 × 0,5 = 0,8.

Вероятность исправной работы цепочки  последовательно соединённых элементов  равна произведению вероятностей исправной  работы каждого элемента цепочки.

P = P₁₂P₃₄P₅₆P₇ = 0,563472.

Ответ: P = 563472.

Задача 15

Постановка задачи

По линии связи передано два  сигнала типа А и В с вероятностью соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается 60 % сигналов типа А и 70 % типа В. Найти вероятность того, что:

а) посланный сигнал будет принят;

б) принятый сигнал типа А.

Решение

б) вероятность того, что принятый сигнал типа А:

P_A = 0,8 × 0,6 =0,48.

а) 

P_B = 0,2 × 0,7 =0,14.

вероятность того, что посланный  сигнал будет принят:

P = P_A + P_B – P_AP_B = 0,5528.

Ответ: P = 0,5528.

Задача 25

Постановка задачи

Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовлетворяет условиям стандарта в среднем в 8% случаев. Найти вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта:

а) шесть изделий;

б) не менее шести изделий;

в) менее шести изделий.

Решение

p = 0,08.

q = 1 – p = 0,92.

Вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта шесть изделий:

P_а = 7 × p⁶ × q = 0,00000168820736.

Вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта не менее шести изделий:

P_б = P_а + p⁷ = 0,00000170917888.

Вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта менее шести изделий:

P_в = 1 – P_б = 0,99999829082112.

Ответ: а) 0,00000168820736; б) 0,00000170917888; в) 0,99999829082112.

Задача 35

Постановка задачи

Найти закон распределения указанной  дискретной СВ Х и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х). Построить график функции распределения F(x).

Вероятность перевыполнения плана  для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 — 0,8, для  СУ-3 — 0,7. СВ Х — число СУ, перевыполнивших план.

Решение

P(X=0) = 0,1 × 0,2 × 0,3 = 0,006.

P(X=1) = 0,9 × 0,2 × 0,3 + 0,1 × 0,8 × 0,3 + 0,1 × 0,2 × 0,7 = 0,092.

P(X=2) = 0,9 × 0,8 × 0,3 + 0,1 × 0,8 × 0,7 + 0,9 × 0,2 × 0,7 = 0,398.

P(X=3) = 0,8 × 0,8 × 0,7 = 0,504.

X	P(X)	F(X)
0	0,006	0,006
1	0,092	0,098
2	0,398	0,496
3	0,504	1

Математическое ожидание:

= 2,4.

Дисперсия:

D(X) = M(X²) – (M(X))²= 6,22 – 2,4 = 3,82.

и среднее квадратическое отклонение s(Х) =  ≈ 1,954482029.

Задача 45

Постановка задачи

Случайная величина Х подчинена закону с плотностью распределения f(x). Найти коэффициент А, построить график f(x), найти функцию распределения F(x) и построить её график, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, найти вероятность попадания величины Х в интервал от до .

f(X)	a	b
	2,5	3,5

 

Решение

Математическое ожидание:

Дисперсия:

D= 48,6.

Среднее квадратическое отклонение:

Вероятность попадания величины Х в интервал от до :

Задача 55

Постановка задачи

Время устранения повреждения на канале связи T — случайная величина, распределенная по закону . Среднее время восстановления канала — 10 минут. Определить вероятность того, что на восстановление канала потребуется более 10 минут.

Решение

.

Ответ: .

Задача 65

Постановка задачи

При изучении выборочным путём срока службы микросхем получено выборочное распределение.

Срок службы, тыс. ч.	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14
Количество ламп	10	30	80	50	16	8	6

1. Определить относительные частоты и построить гистограмму относительных частот.
2. С помощью метода произведений вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию s².

Решение

Срок службы, тыс. ч.	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14
Количество ламп	10	30	80	50	16	8	6
Относительные частоты	0,05	0,15	0,4	0,25	0,08	0,04	0,03

 

Составим расчётную таблицу, для чего:

1. запишем варианты в первый столбец;
2. запишем частоты во второй столбец, сумму частот (200) поместим в нижнюю клетку столбца;
3. в качестве ложного нуля выберем варианту c максимальная частотой;
4. в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулём последовательно записываем –1, –2, а над нулём: 1, 2, 3;
5. произведения частот на условные варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму отрицательных и отдельно сумму положительных чисел, а их сумму помещаем в нижнюю клетку столбца;
6. произведения частот на квадраты условных вариант записываем в пятый столбец, а их сумму помещаем в нижнюю клетку столбца;
7. произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец, а их сумму помещаем в нижнюю клетку столбца.

Вычислим условные моменты первого  и второго порядков:

Найдём шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами):

h=3 – 2 = 2.

Вычислим искомые выборочные среднюю  и дисперсию, учитывая, что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 5:

 =

s² =

Ответ: = s² =

Литература

1. Гладков Л. Л., Гладкова Г. А. Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов-заочников всех специальностей. — Минск: Высший государственный колледж связи, 1999.