Контрольная работа по "Методам оптимизации"

Федеральное агентство  по образованию Российской Федерации РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ  АВИАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ им. П.А. СОЛОВЬЕВА Факультет заочного обучения

Кафедра вычислительных систем

 

 

Контрольная работа

По дисциплине:

Методы оптимизации

Вариант 4

 

 

 

 

Исполнитель: студент  группы ЗВП-07   Орлов Д.Б. “____”__________2009 г. Руководитель: профессор, кандидат технических наук   Вишняков В.А. “____”__________2009 г.

 

 

 

 

РЫБИНСК 2009 г.

 

Содержание

 

 

1. Задача № 1…………………….....................................................…..3

2. Задача № 2…………….......................................……………………4

3. Задача № 3………………...................................................................6

Список использованной литературы…………………………………10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задача №1.

 

 

Найти экстремум функции 

при условии 

Решение

 

Из условия  выражаем

Тогда  - функция одной переменной

- критическая точка

 , следовательно, в точке функция имеет максимум.

 при  ,  , -точки максимума функции

Максимум функции 

Ответ: - точки максимума функции

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задача № 2

 

 

Найти максимум функции 

    при условиях :         

  

 

Решение

 

Строим область допустимых значений (ОДЗ) переменных и .

Строим прямые и

 

рисунок 2.1. – Область допустимых значений (ОДЗ)

 

Решение системы неравенств – треугольник АВС (ОБЗ). Запишем целевую функцию в виде 

При U=0 функция проходит через начало координат. Вектор - градиент функции , указывающий направление возрастания целевой функции. При прямая проходит через точку С(0;4), координаты которой и являются решением задачи.

 

Ответ: при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Задача №3

 

 

Составить алгоритм и  найти минимум функции  методами дихотомии и Фибоначчи.

 

Решение

График функции  - парабола, нули функции – точки х=0 и х=0. Следовательно, минимум функции находится в интервале (0;6). Составим алгоритм отыскания минимума методами дихотомии.

1. Назначаем а=0, в=6. Вычисляем , затем и , где - заданная плотность вычисления точки минимума.
2. Вычисляем и . Если < , то , , иначе .
3. Если , то переходим к шагу 1, иначе процедура заканчивается.

 

Выполняем расчет по записанному  выше алгоритму.

Так как  то ,

Составим алгоритм отыскания минимума функции методом Фибоначчи.

 

 

1. Назначаем Выбираем минимальные из чисел Фибоначчи, удовлетворяющее условию
2. Вычисляем  

 

3. Вычисляем

 

Если  , то

присвоить новые значения:

Если  то присвоить новые значения:

Если  то переходим к следующему шагу, иначе поиск заканчивается.

Выполняем расчет по записанному  алгоритму.

Выбираем 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Христова Н.П. Основная задача линейного программирования и методы ее решения.- Рыбинск: РГАТА,2005

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. – М.: Мир, 1977.

3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.