Контрольная работа по "Математике"

Задача № 6

Найти пределы, не пользуясь  правилом Лопиталя.

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 26

Найти угол между плоскостью 2x+3y-6z+1=0 и плоскостью, проходящей через точки М₁(1;1;4), М₂(2;-1;0), М₃(3;2;1).

Решение

Нормальный вектор к  заданной по условию плоскости (его  координаты есть коэффициенты при x, y и z в заданном уравнении):

Находим векторы:

В качестве нормального вектора к плоскости М₁М₂М₃ можно рассматривать вектор

, так как этот вектор перпендикулярен векторам , которые в свою очередь параллельны плоскости М₁М₂М₃.

Находим вектор

:

Искомый угол между плоскостями  равен углу между векторами 

.

Поэтому искомый угол:

Если рассматривать  острый угол, то получим смежный  острый угол:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 46

Найти производные функций.

Решение

 логарифмируем равенство: 

дифференцируем обе части равенства  по x:

искомая производная:

в данном случае функция y(x) задана неявно;

дифференцируем обе  части равенства по x:

отсюда выражаем искомую  производную:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 66

Найти производные первого  и второго порядка от функции, заданной параметрически:

Решение

Находим производные  по t:

Тогда искомые производные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 86

Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций.

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 106

Исследовать функцию 

и построить её график.

Решение

Преобразуем уравнение  функции y=y(x):

Проводим исследование функции.

1.

2.

Функция y(x) ни чётная, ни нечётная.

3.

График функции y(x) имеет горизонтальную асимптоту у=-4 и вертикальную асимптоту х=1.

4. Находим производные:

Определяем нули и знаки первой производной:

+ + +

_{0                                       1}  х

При

функция y(x) возрастает, точек минимума и максимума нет.

5. Определяем нули и знаки  второй производной: 

+     - +    -

    0  1     х

При

график функции выпукл вниз, при - вверх, х=0 и - точки перегиба, , точка .

6. Точки пересечения  с координатными осями:

- ось Ох: у=0; х=0;

- ось Оу: х=0; у=0.

7. Наклонные асимптоты y=kx+b:

Асимптота: у=-4. Строим график функции y(x).

y  

 

 

 

 

 

 

0 1        x

 

   _-4/3

 

 

    ^-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 126

Решить систему по формулам Крамера и матричным  способом.

Решение

1. Решаем систему по  формулам Крамера.

Матрица системы:

Матрица-столбец неизвестных: Матрица-столбец свободных членов:

Сначала находим определитель матрицы А системы:

В определителе матрицы  системы меняем первый столбец на столбец свободных членов и находим полученный определитель:

В определителе матрицы  системы меняем второй столбец на столбец свободных членов и находим  полученный определитель:

В определителе матрицы  системы меняем третий столбец на столбец свободных членов и находим полученный определитель:

Тогда решение системы  по формулам Крамера:

2. Решаем систему матричным  способом.

Обозначим:

Тогда систему можно  записать в виде:

Отсюда матрица неизвестных:

Находим матрицу А^-1.

Определитель:

Алгебраические дополнения элементов определителя матрицы  А:

Тогда обратная матрица:

Из (1) находим решение  системы:

Ответ: х₁=2; х₂=-1; х₃=-5/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 146

Даны вершины А(-1;1), В(1;5), С(3;-2) треугольника АВС. Найти уравнение  и длину высоты, опущенной из вершины  В. Сделать чертёж.

Решение

Уравнение стороны АС:

Нормальный вектор к  АС (его координаты есть коэффициенты при x и при y в уравнении (1)):

. Этот вектор будет направляющим к высоте. А так как она проходит через точку В(1;5), то уравнение высоты:

Длина высоты (расстояние от точки В до прямой (1)):

Делаем чертёж.

 

 

Литература

1) Герасимович А. И., Рысюк Н. А. Математический анализ: Справ. пособие. В 2 ч. Ч. 1. – Мн.: Выш. шк., 1989.

2) Гусак А. А., Гусак Г. М. Справочник по высшей математике: Справ. – Мн.: Навука i тэхнiка, 1991.

3) Дадаян А. А., Дударенко В. А. Математический анализ: Учеб. пособие. – Мн.: Выш. шк., 1990.