Контрольная работа по "Математике"

1. Метод касательных.  Оценка точности и скорости 

сходимости метода.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как  метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Рассмотрение метода итерации позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид :

(1)

Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем при ).

Поскольку для метода Ньютона 

то   

В точке  получаем , так как . Тем самым, в этом методе график пересекает прямую в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к . Именно, имеет место оценка

(2)

где  - некоторая постоянная (не зависящая от ). Если начальное приближение взято достаточно близко от корня , то можно взять .

Заметим, что по сравнению  с общей оценкой метода итераций

постоянная заменяется в оценке метода Ньютона (2) на стремящуюся к 0 величину ; отсюда и высокая скорость сходимости.

Скорость сходимости итераций, которая задаётся формулой (2), называется квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией. Действительно, если , и , то . Это и означает, что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с до , то есть удвоилось.

Геометрический смысл метода Ньютона  состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику  в точке очередного последовательного приближения , а за следующее приближение берём точку пересечения этой касательной с осью . Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Рис.1 - Последовательные приближения метода Ньютона

Заметим, что по-другому  идею метода Ньютона мы можем описать  так: на каждом шаге вместо исходного  уравнения  мы решаем приближённое, линеаризованное в точке уравнение:

в котором левая часть -- это многочлен Тейлора первого порядка для функции в точке , то есть линейная функция

Решением линеаризованного уравнения  служит следующее приближение , в то время как решением исходного точного уравнения служит искомый корень .

Пример 1.   Решим методом Ньютона уравнение , взяв в качестве начального приближения и задав точность . Поскольку , то итерационная формула метода Ньютона будет такой:

Применяя эту формулу, последовательно находим:

так что  с точностью . Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.)     

 

2. Обратное  линейное интерполирование.

Интерполи́рование — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

При пользовании таблицами  различных функций часто возникает  задача отыскания значения функции для промежуточных значений аргумента (не приведенных в таблице). В простейших случаях эта задача может быть решена путем линейной интерполяции.

Линейная интерполяция опирается на предположение, что в промежутке между двумя соседними табличными значениями аргумента рассматриваемую функцию можно приближенно считать линейной, т. е. что в этом промежутке изменение функции пропорционально изменению аргумента:

Введем следующие обозначения:

х₁ и х₂ — два соседних табличных значения аргумента,  
у₁ и у₂ — соответствующие им значения функции, 
X—промежуточное значение аргумента (х₁ < X < х₂),  
У — соответствующее значение функции.

Тогда высказанное предположение  выражается пропорцией

которую удобно решать на счетной линейке по схеме:

Найдя на линейке приращение Y—y₁ мы без труда находим затем искомое значение У.

Применение счетной  линейки для линейной интерполяции особенно эффективно в тех случаях, когда требуется найти сразу  несколько промежуточных значений функции. Для этого достаточна одна установка движка, перемещая визир  на разные значения X—x₁ мы находим все поправки У—у₁.

Пример. Пользуясь следующей таблицей логарифмов вычислить логарифмы чисел от 6,2 до 6,4 через 0,05.

Решение. Здесь

Для разностей

X — x₁ = 0,05;    0,10;    0,15

с помощью счетной  линейки вычисляем поправки 

У—у₁ = 0,0035; 0,0069; 0,0104.

Прибавляя их к начальному значению у_г, находим

Обратная линейная интерполяция заключается в отыскании значения аргумента X по заданному значению функции У с помощью той же пропорции

для этой цели применима  та же схема,

но теперь уже визир  перемещают на значение У—у₁ и находят поправку к аргументу X—х₁.

Пример. С помощью приведенной выше таблицы вычислить Х= 10^0,8, т. е. найти такое значение X, при котором К= lg Х = 0,8.

Решение. Здесь

На счетной линейке  для разности У—у₁ = 0,0076 находим

откуда Х = 6,2+0,130 = 6,310.