Контрольная работа по «Математике»

Задача 1 
 
1.     Найти объединение и пересечение множеств А и В, если А ={1;3;5}  и B={0;1;2;-3;4;-5}. 
 
Решение: Объединение множеств А и В 
 
А È В= {0;1;2;3;5;-3;4;-5}, 
 
А ÇВ={1}. 
Задача 2 
 
2.     Используя законы де Моргана, преобразовать следующую формулу та, чтобы знак  отрицания был отнесен к отдельным переменным Ø( pq Ú Øq) 
 
 Решение: 
 
 Используя формулы де Моргана, раскроем скобки 
 

 
 
 
 
Получим  Ø(pq ÚØq) Û  Ø(pq) ÙØ(Øq) Û  Ø(pq)Ùq Û ØpÙØqÙq 
 
 
 
Задача 3 
 
Пусть В — отношение «быть братом», С — отношение «быть сестрой». Описать отношения 
 
а)В È С 
 
б) В ∩ С 
 
1) Объединение всех братьев и всех сестер 
 
2) Пересечение, то есть люди, являющиеся одновременно и братом и сестрой. 
В ∩ С. Отношения B и C определены над неким множеством M. Любые два элемента x и y этого множества либо находятся, либо не находятся в этих отношениях. 
 
Отношение В ∩ С также определено над множеством M, причем элементы x и y находятся между собой в этом отношении тогда, и только тогда, когда: 
 
1. xBy и xCy 
 
2. xBy и yCx 
Предположим, что M - это люди. Тогда отношение B•C описывает случай, когда x и y являются братом и сестрой (например, Саша является братом Маши, а Маша является сестрой Саши. Саша и Маша находятся в отношении B•C). 
. Отношение В È С или B+C (обозначим его R) 
- антирефлексивно (для любого элемента x из множества M пара (x, x) не находятся в отношении R (сам себе не являешься ни братом, ни сестрой)) 
 
- симметрично (для любых элементов x и y из M если xRy, то и yRx (я являюсь братом (или сестрой) своему брату или сестре) 
 
- транзитивно (для любых элементов x, y и z из M если xRy и yRz, то xRz (брат или сестра моего брата или сестры является моим братом или сестрой) 
2. Отношение В ∩ С (также обозначим R) 
- антирефлексивно 
 
- антисимметрично (для любых элементов x и y из M если xRy и yRx, то x=y; но т.к. любые два элемента не могут одновременно находиться в этих отношениях, то посылка является ложной, то есть все высказывание истинно) 
 
- асимметрично (т.к. оно антирефлексивно и антисимметрично; для любых элементов x и y из M если xRy то (не yRx)) 
 
- транзитивно (для любых элементов x, y и z из M если xRy и yRz, то xRz; но у нас посылка всегда ложна (если xRy, то x - сестра, а y - брат; следовательно, y никак не может быть в отношении R ни с одним элементом z, т.к. для этого он должен быть сестрой z. Т.о., посылка ложна при любых x, y и z, а следовательно, все условие истинно)) 
 
 

Задача 4 
 
найти интеграл

 
Задача 5 
 
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.5, а для второго 0,8. Найти вероятность того. Что после первого залпа будет хотя бы один бы один промах.  
 
Решение:  
 
         Обозначим  событие А₁ попадание в цель первым стрелком, событие  А₂  — попадание вторым стрелком. Промах первого обозначим Ᾱ₁ , промах второго Ᾱ₂ . 
 
Р( А₁)= 0,5; Р( Ᾱ₁)= 1- 0,5=0,5; Р(А₂ )=0,8; Р(Ᾱ₂)=1-0,8= 0,2. 
 
Вероятность события В, что после первого залпа будет хотя бы один промах равна 
 
Р(В)=Р( А₁)∙Р(Ᾱ₂)+Р( Ᾱ₁)∙Р(А₂ )=0,5∙0,2+0,5∙0,8=0,5. 
 
Ответ: вероятность того, что после первого залпа будет хотя бы один промах равна 0,5.