Контрольная работа по "Математике"

Задача 1. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает 4 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадает 2 раза.

Решение:

Всего 4+2=6 бросков, причем в последний раз выпадает герб, значит в предыдущих 5 бросках будет 3 герба и 2 цифры.

Очевидно, что при 6-м подбрасывании  должен выпасть герб, а порядок  остальных 5 подбрасываний не имеет  значения, поэтому 

р=0,5 – выпал герб при одном подбрасывании,

q=1-р=1-0,5=0,5 – выпала решка при одном подбрасывании.

Тогда вероятность по формуле Бернулли

Ответ: р=0,039

 

Задача 2. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,5. Куплено 13 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение:

р=0,5, n=13.

Вероятность того, что выиграет k билетов из n равна

Наивероятнейшее число выигравших билетов – это значение, для  которого будет максимальным.

P(k)/P(k-1)=C(n,k) / C(n,k-1) · p/(1-p) = (n+1-k) p / (k(1-p)) 
решим неравенство (n+1-k) p / (k(1-p)) > 1 
(n+1-k) p > k (1-p) 
np + p - kp > k - kp 
k < np + p 
в данном случае, np + p = 13*0,5+0,5=7 
значит для k < 7 будет P(k) > P(k-1), для k > 7 будет P(k) < P(k-1) 
подставляя k = 7, k = 8 
получим P(7) > P(6), P(8) < P(7) 
Функция распределения Бернулли имеет один максимум, и в данном случае это k = 7 
подставляя в формулу

Ответ: k=7,  Р(7) = 0,2095

 

 

Задача 3. На каждый лотерейный билет с вероятностью p₁ = 0,11 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р₂ = 0,21 - мелкий выигрыш, и с вероятностью р₃ билет может оказаться без выигрыша, . Куплено 14 билетов. Определить вероятность получения 1 крупного выигрыша и 4 мелких.

Решение:

р₁=0,1 – вероятность выпадения крупного выигрыша,

р₂=0,21 – вероятность выпадения мелкого выигрыша,

р₃=1-0,21-0,1=0,69 – вероятность оказаться без выигрыша.

N=14

m₁=1 – число крупных выигрышей;

m₂=4 – число мелких выигрышей;

m₃=14-1-4=9 – число билетов, оставшихся без выигрыша.

Применяя  формулу полимиального распределения вероятностей, получим:

Ответ: р=0,067

 

Задача 4. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,01. Поступило 700 вызовов. Определить вероятность 8 «сбоев».

Решение:

Естественно предположить, что в  обычных условиях вызовы, поступающие  на телефонную станцию – независимы друг от друга.

Будем считать «успехом» в испытании  – вызове – сбой телефонной станции.

Вероятность сбоя (р=0.01) можно считать «достаточно малой» величиной, а число вызовов (n=700) – «достаточно большим». Таким образом, можно применить теорему Пуассона.

Для параметра  =0,01*700=7.

По формуле Пуассона получаем величину:

Ответ: р=0,1456

 

Задача 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,6. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству: m ≥ 75.

Решение:

Так как n=100 - велико, и требуется определить вероятность события при

m ≥ 75. Определим вероятность события при .

Применим интегральную формулу Лапласа:

     где к₁=0, вычислим аргументы функции Лапласа

=0,9985

Тогда вероятность  того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству: m ≥ 75 равна:

P₁₀₀( =1-0.9985=0.0015

Ответ: р=0,0015