Контрольная работа по "Математике"

Вариант 6

 

 

Содержание

 

Задание 1

 

Сколькими способами можно расположить  в ряд 5 черных, 4 белых и 3 красных  фишки?                                                            

Решение.

Комбинаторные объекты, рассматриваемые  в данной задаче - это перестановки с повторениями. Перестановки, так как задействованы все рассматриваемые объекты (все фишки) и над ними производится переупорядочение. Каждая фишка относится ровно к одному из трех классов(черные, белые, синие). Так как объекты внутри классов считаются одинаковыми, то перестановки внутри классов не приводят к новым способам расположения фишек. Поэтому, это перестановки с повторениями.

Пусть n1 = 5, n2 = 4, n3 = 3. Общее число  фишек равно n = n1 + n2 + n3 = 12.

Применяем формулу для вычисления числа перестановок с повторениями:

Pn(n1; n2; n3) =n!/(n1!n2!n3!)=12!/(5!4!3!)= 27720

Ответ: 27720 способов.

 

Задание 2

 

Какова вероятность того, что  наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не високосным)             

Возможно так: событие A - на листке календаря число 1. Количество всех возможных исходов n = 365. Количество благоприятных исходов m=12. Тогда вероятность P(A) = 12/365 = 0,0328767... 

Ответ: вероятность того, что вырванный  наудачу листок из календаря, который соответствует первому числу, равна P(А) = 0,03.

 

 

Задание 3

 

Несколько раз бросают игральную  кость. Какова вероятность того, что  одно очко появится впервые при третьем бросании?     

p = 1/6 - вероятность появления "1" при одном броске 

q = 1-p = 5/6 - вероятность появления другого числа при одном броске 

A = {"1" появилась первый раз  при третьем броске}

A = A1*A2*A3 

A1 = {выпала не "единица"} 

A2 = {выпала не "единица"} 

A3 = {выпала "единица"} 

P(A1) = P(A2) = q = 5/6 

P(A3) = p = 1/6 

P(A) = P(A1*A2*A3) = P(A1)*P(A2)*P(A3) = (5/6)*(5/6)*(1/6) = 25/216

 

Задание 4

 

Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который  равна 0,2. Найти наивероятнейшее  число попаданий и вероятность  этого числа попаданий.

 

Исходные данные: p = 0.2, q = 1- p = 1 - 0.2 = 0.8

Формула Бернулли:

 

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства:

np – q ≤ k₀ ≤ np + p

причем:

а) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀.

б) если число np – q – целое дробное, то существуют два наивероятнейших  числа, а именно k₀ и k₀ + 1.

в) если число np – целое, то наивероятнейшее  число k₀ = np.

По условию, n = 14, p = 0.2, q = 0.8.

Найдем наивероятнейшее число  из двойного неравенства:

14*0.2 – 0.8 ≤  k₀ ≤ 14*0.2 + 0.2

или

2 ≤ k₀ ≤ 3

Поскольку число np – q = 2 – целое, то существуют два  наивероятнейших числа, а именно k₀ = 2 и 2 + 1 = 3

Формула Бернулли:

 

Событие наступит ровно k = 2 раз;

 

Событие наступит ровно k = 3 раз;

 

 

Задание 5

 

 

 

 

В круг радиуса R вписан квадрат. В круг случайным образом бросается точка. Найдите вероятность того, что она окажется внутри квадрата.

Решение:

 

Вероятность, что точка принадлежит  квадрату равна отношению площадей квадрата и круга.

Площадь круга = Пи*r² = 3.14*1=3,14 ед²

Если квадрат вписан в круг, то радиус круга - это половина диагонали квадрата

Вероятность, что точка принадлежит  квадрату = 0,637

 

Задание 6

 

В одном из ящиков 10 белых и 6 черных шариков, во втором 7 белых и 9 черных. Произвольно выбирают ящик и из него наугад вынимают шарик. Он белый. Чему равна вероятность того, что и второй шарик, наугад вынутый из этого ящика, окажется белым?

 

Решение.

Первая часть задачи решается по формуле Бейеса. 
Гипотезы: 
Н1 – {Выбран 1-й ящик}; 
Н2 – {Выбран 2-й ящик}. 
Р(Н1)=Р(Н2) =0,5 
 
Событие А {Вынули белый шарик} 
Р(A|Н1)=10/16=5/8; Р(A|Н2)=7/16. 
 
Р(Н1|A)=P(H1)•Р(A|Н1)/(Σ P(H)•Р(A|Н))=0,5•(5/8)/(0,5•(5/8)+0,5•(7/16))= (5/16)/ (17/32)=10/17: 
Р(Н2|A)=P(H2)•Р(A|Н1)/(Σ P(H)•Р(A|Н))=0,5•(7/16)/(17/32)=14/17: 
 
Тогда 
Р(A,А|Н1)=(10/17)•((10-1)/(16-1)=6/17: 
Р(A,А|Н2) =(14/17)•((7-1)/(16-1)=28/35. 
 
По формуле полной вероятности имеем 
Р(А)= Р(Н1)•P(A,А|H1)+ Р(Н2)•P(A,А|H2)=0,5•(6/17+28/35)≈0,567. 

Задание 7

Какова вероятность того, что  в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55?                                                                  

в схеме Бернулли число  испытаний n велико, то для вероятности P_n(k₁£m£k₂) того, что число успехов заключено в пределах от k₁ до k₂, справедливо приближенная формула локальная теорема Муавра-Лапласа

,

где , – функция Лапласа.

 

 Случайные  величины 

Вариант 6

Задание 1

 

Найти вероятности , ,  математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения:                                                                                             

Х	0	1	2	3	4
P	0,05		0,3	0,35	0,1

                                          

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                           

Решение:

0,05+р2+0,3+0,35+0,1=1

Р2=0,2

 

Х	0	1	2	3	4
P	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

 

 

 

Математическое ожидание находим  по формуле m = ∑x_ip_i.

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 0*0.05 + 1*0.2 + 2*0.3 + 3*0.35 + 4*0.1  = 2.25

Дисперсию находим по формуле d = ∑x²_ip_i - M[x]².

Дисперсия D[X].

D[X] = 0²*0.05 + 1²*0.2 + 2²*0.3 + 3²*0.35 + 4²*0.1  - 2.25² = 1.088

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

 

 

Задание 2

 

Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения: Найти функцию плотности распределения вероятностей,    математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, построить график функции плотности вероятностей. 

Решение:

.              F(х) =

 

случайной величины, заданной дифференциальной  функцией распределения:

 

 

 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

=

Дисперсия непрерывной случайной величины

=

 

Задание 3

 

Случайная величина Х распределена по нормальному закону: . Найти , построить схематический график функции  плотности f(x).

Вероятность того случайная величина X, описываемая нормальным распределением, примет значение, принадлежащее интервалу (6,10), имеет вид

.

где – функция Лапласа.

В нашем случае получим

 

Таблица значений функции                 

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,0000	0040	0080	0120	0160	0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0753
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2257	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2517	2549
0,7	2580	2611	2642	2673	2708	2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2995	3023	3051	3078	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3438	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3696	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3883	3907	3925	3944	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4151	4147	4162	4177
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4429	4441
1,6	4452	4463	4473	4484	4495	4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633
1,8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4699	4706
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4761	4767
2,0	4772	4778	4783	4788	4793	4798	4803	4808	4812	4817

.

 

Задание 4

 

В партии из 100 деталей  находятся  две бракованные детали. Из партии наудачу отбираются 10 деталей. Составьте  закон распределения   случайной величины  Х – числа бракованных деталей среди отобранных.

А-деталь бракованная

Р=Р(А)=2/100=0,02

1-р=1-0,02=0,98

N=10 деталей берут

Случайная величина X имеет область  значений (0,1,2,...,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

P_n(m) = C^m_np^mq^n-m

где C^m_n - число сочетаний из n по m.

 

Найдем ряд распределения X.

P₁₀(0) = (1-p)ⁿ = (1-0.02)¹⁰ = 0.8171

P₁₀(1) = np(1-p)^n-1 = 10(1-0.02)^10-1 = 0.1667

 

 

xi	0	1	2
pi	0,8171=0,82	0,1667=0,17	0,0153=0,02

 

 

 

 

                                                                          

Задание 5

Непрерывная  случайная величина  Х равномерно распределена на отрезке [1; 5] и имеет плотность вероятности  

Найти  значение параметра С, математическое ожидание и дисперсию, построить график функции f(x).

Решение

Определение. Непрерывная случайная  величина имеет равномерное распределение  на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

 

Получаем .

Постоянная величина С может  быть определена из условия равенства  единице площади, ограниченной кривой распределения.

   f(x)

 

 

                   

 

 

 

         0           a=1                   b=5              

 

 

 

Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b].

 

 

 

 

F(x)

 

   1

 

 

 

 

 

Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.