Контрольная работа по "Математическому анализу"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ

Вариант 7

 

 

 

 

 

Исполнитель: студент

Сакаева М.Р.

Преподаватель :

Исакова О.Л.

 

 

 

Екатеринбург

2012

 

    Задание 1. Пределы функций

     Вычислить пределы:

а) =*==== = =1

b)= = = 0

c)= = = х ==

 

     Задание 2. Исследование функций

 

     Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график:  у=

1  Найдем область определения функции.

х2-4=0     х2=4     х=

 

2 Исследуем функцию на четность.

f(-х)== =f(х)

Функция четная значит ее график симметричен относительно оси ординат.

3 Находим вертикальные асимптоты к графику функции.

При х→2 слева  =-

При х→2 справа =+

х=2 Вертикальная асимптота, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат, то прямая х=-2 тоже будет вертикальной асимптотой.

 

4 Исследуем поведение функции на бесконечность.

 

Прямая у=0 является горизонтальной асимптотой.

 

5   Найдем экстремум и интервалы монотонности.

у'='==

у'=0    х=0

Производная не существует в точках х=2 и х=-2, но эти токи не входят в область определения.

На (- у'>0 следовательно функция на промежутке не возрастает.

На (0;+∞) у следовательно функция на промежутке убывает.

у'          

              +                                 -                            х=0  точка максимума

   у                            0                               

6   Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

у''== =-==

Точек в которых вторая производная обращается в 0, нет, следовательно нет точек перегиба.

3х2+4>0 следовательно знак у'' зависит от знака (х2-4)3 следовательно на (-2;2)

у'', на (-∞;-2) у''>0

у''                                           -2                               2

          +                                 -                                 +

7   Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Пусть х=0       у=

Точка пересечения графика функции с осью ординат (0;-0,5)

Пусть у=0  то таких значений х нет.

Рисунок 1-График функции у=

 

     Задание 3  Неопределенный интеграл

     Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:

     а) – непосредственное интегрирование;

     б) – замены переменной;

     в) – интегрирования по частям.

 

а) = =+2 = + 2* + +C

 

б)dx== = =+C=

=+С

в) = ln x* -

     Задание 4 Определенный  интеграл

     4.1 Вычислить определенный интеграл: 

 

==

ln x*=ln 2 *(6+4)-ln 1

     4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

y=x2+3        x=0      y=x-1         x=2

Рисунок 2-чертех фигуры ограниченной кривыми

 

     Задание 5 Несобственный интеграл

     Вычислить интеграл или установить его расходимость:

а)

= = ln x

 

Интеграл сходящийся.

б)

Особая точка х=0

 

  Этот интеграл расходящийся.

     Задание 6 Ряды

6.1 Числовые ряды. Исследовать  ряд на сходимость

               un=                    un+1=

 

     6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда

            Сn=3n(x-2)n              Сn+1=3n+1(x-2)n+1

 

                 -                        1

Область сходимости:(

     Задание 7 Функции  нескольких переменных 

     Исследовать функцию двух переменных на экстремум.

z=   

z'x=-4x             z'y=y3  

   

              

x=0   y=0    A=-4      B=0     C=0

 

x=0   y=0       не является точкой экстремума.

     Задание 8 Решение  дифференциальных уравнений

     8.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

y2y'=3-2x      y(0)=1

y2

 

    Общее решение

y(0)=1       13/3 = 0 - 0 + С        С = 1/3

y3/3 = 3x – x2 + 1/3

y3 = 9x – 3x2 + 1     Частное решение

     8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y''- 6y' + 9y = 0                    y(0) = 1       y'(0) = -1

k2 - 6k+9=0  Характеристическое уравнение     

k1 = k2 = 3

yобщ = е 3x ( C1+C2 x )    Общее решение

y/ общ = 3e 3x ( C1 + C2 x ) + C2 e 3x

y(0) = 1        e 3*0 ( C1+C2*0 ) = 1     C1 = 1

y/ (0) = -1       3*e 3*0 ( C1+C2*0 ) + C2* e 3*0 = -1        3*C1+C2 = -1         3+C2 = -1

C2 = -4        yчаст = е3x ( 1-4x )

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1 Аксёнов. Математический анализ. 

2  Натанзон С.М. Краткий курс математического анализа. 2004 год

3  Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике в 2ч.

2 УМК УрГЭУ 

5 Фомин В.И. Учебное пособие  по математике. 2007 год