Контрольная работа по "Математическому анализу"

ВОЛЖСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Н.ТАТИЩЕВА

 

 

 

 

Кафедра

 

Промышленная информатика

 

 

 

 

Контрольная работа по математике

 

Вариант № 13

                                                     

 

 

 

 

 Выполнил:

студент 1 курса группы ИТЗБ-111

                                                         Ф.И.О.  Иванов А.И.

 

 

Проверил: Скрябина Е.С.

 

 

 

 

 

Тольятти 2013

 

 

 

 

1. Найти пределы функций:

1) 

а)    

б)  ;

в)  ; 

г)  .

 

 

 

2. Найти производную функций:

1. 

а) ; 

 

б) ;

 

в) ;  

 

г)

 

3. Найти производную второго порядка для функции

1. ;  

 

Решение.

 

 

4. Исследуйте функцию и постройте ее график.

2) ; 

Решение.

Область определения функции:

, функция ни четная, ни нечетная.

Функция не периодическая.

Нули функции и интервалы  знакопостоянства.

 с Оу график не пересекается.

Интервалы возрастания и убывания функции. Точки экстремумов.

При х = 0 и х = -2   y' не существует.

 

      +            +  – –   y'

 x

            –2         –1           0     y

       

Функция возрастает при , убывает при .

При х = –1 — максимум функции.

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.

y'' 0 ни при каких значениях х.

При х = 0 и х = -2   y'' не существует.

 

+ – +    y''

 x

                       –2     0         y

       

График вогнутый при  и выпуклый при ;

Точек перегиба нет.

 

Асимптоты графика функции.

х = –2 и х = 0 — вертикальные асимптоты.

,

у = 1 — горизонтальная асимптота.

Наклонных асимптот нет.

 

Используя результаты исследования, построим график функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти частные производные функций.

2)   

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вычислить интеграл

2. а)

, 

 

б) ,

 

в)

    

г)

;

 

 

 

 

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.

3. .

Решение.

Построим график.

Пересечение линий:

Площадь фигуры равна:

Ответ: 4,5 ед.²

 

 

 

 

 

 

8. Решить уравнение

3. a) ;     

Уравнение с разделяющимися переменными.

 — общее решение уравнения.

 

 

б) ; 

Однородное уравнение.

Пусть

 — общее решение уравнения.

 

 

 

в) ;     

Линейное уравнение.

Пусть

 — общее решение уравнения.

 

 

 

г) ;

Составим характеристическое уравнение:

 — общее решение уравнения.

 

 

 

д) ;

 — общее решение уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Разложить функцию в степенной ряд окрестности точки .

7) ;     

Решение.

Получаем разложение в ряд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10: Решите задачу

6. Из партии в 100 деталей, среди которых 5 бракованных, наудачу выбирается 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь годная.

Решение.

Всего годных деталей n = 100 – 5 = 95.

Определим вероятность того, что взятая наудачу одна деталь будет годная:

Ответ: 0,011.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11: Решите задачу

5. Дан закон распределения случайной величины. Найти ее математическое ожидание и дисперсию

xi	-6	8	9	10
pi	0,1	0,1	?	0,2

 

 

 

Решение.

Определим вероятность для х = 9:

Определим математическое ожидание:

Определим дисперсию:

 

 

 

 

 

 

 

 

12: Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно , среднее квадратическое отклонение равно . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале  (a, b).

a

b

 

4)

16

2

15

18

 

 

Решение.

Вероятность попадания в интервал определим по формуле:

Ответ: 0,5328.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13: Дана выборка. Требуется:

а) Построить статистический ряд распределения частот и полигон  частот;

б) Вариационный ряд;

в) Найти "хорошие" оценки математического ожидания и дисперсии;

г) Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

3. 10,8,10,11,9,10,8,9,10,10.

 

Решение.

Ряд распределения частот:

xi	8	9	10	11
ni	2	2	5	1

 

Вариационный ряд: 8,8,9,9,10,10,10,10,10,11.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Полученные оценки и S² являются «хорошими» для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка малая, а и S² — несмещенные.

Мода (х) = 10

Медиана (х) = 10

Коэффициент вариации:

Коэффициент асимметрии: