Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Задание 3.Вычислить предел, не используя  правило Лопиталя.

 

1.

 

2.

 

3.=

 

4.

 

Задание 23.Найти точки  разрыва функции и указать  их характер. Сделать схематический  чертеж.

 

 

Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

 

,

Поскольку левосторонний предел при x = 0  равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

 

Для точки  находим:

 

,

, 

Аналогично  правый предел равен бесконечности  при , точка является точкой разрыва второго рода.

Изобразим график функции

 

 
Задание 33.Провести полное исследование функции и построить ее график.

 

1.Функция  определена и непрерывна на  интервале  . Точка разрыва (-1).

2.Пересечение  с осью ОХ.

 

3.Пересечение  с осью ОУ.

х=0, f(x)=4

4.Функция ни четная, ни нечетная.

5.Найдем первую производную.

y^҆=,  Нули производной х=-2, х=0.

Функция возрастает на промежутке х

Функция убывает на промежутке х

6. Выясним наличие наклонных  асимптот:

х=-1  не существует

х=-1 

х=-1 

Наклонная асимптота у=5-х

Минимальное значение

Максимальное  значение

Построим график.

 

 

 

				4
						5

 

 

Задание 43.Найти неопределенные интегралы.

1.

 

 

 

2.

 

3.

 

Задание 53.Вычислить площадь  фигуры, ограниченной линиями.

y=x²-2x+3      y=3x-1

 

Графиком  функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= 2x-2 и находим координаты вершины параболы С:

 

Графиком  функции g(x)=3x-1 является прямая, проходящая через точки (0;-1), (1/3;0).

Найдём  точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

х²-2x+3=3x-1 ↔ х²-2x-3x+3+1=0 ↔ х²- 5х + 4 = 0

Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х [0;1], то

 

Задание 63. Даны функция z=f(x;y), точка М₀ (х₀; у₀), вектор

 .Найти:

1.Градиент функции z=f(x;y) в точке М₀ (х₀; у₀)

2.Производную функции  z=f(x;y) в точке М₀ (х₀; у₀) по направлению вектора

 

1.  градиентом функции u=f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) называется вектор, координаты которого равны значениям частных производных функции в точке М₀:

Найдем  значение частных производных функции  в точке М₀(2, -1):

 

;  

 

;  

 

 

Вектор   -указывает направление возрастания функции f в точке М₀. Наибольшая скорость возрастания функции f равна модулю градиента:

 

|grad f (M₀)| =

 

 

 

2.               Производную функции u=f(x,y) по направлению вектора   найдем по формуле:

, где cos , cos -  направляющие косинусы вектора  :

Вычислим cos , cos  и 

cos =

 

 

 

 

=-1/5*4/5+(-1)(-3/5)=0.44

 

 

Задание 73.Найти:

1.Частное  решение дифференциального уравнения  первого порядка, удовлетворяющее  начальным условиям х=х₀, у=у₀.

2.Общее  решение дифференциального уравнения  второго порядка с постоянными  коэффициентами.

 

 

1.у^,=2^х-у    х₀=-3   у₀=-5

 

2^х=2^у(х)у^{, (х)}

 

2у(х)=2^x

 

 

 

             

 

 

-общее решение

 

Частное решение при х₀=-3   у₀=-5

 

 

-5=                 C₁=0.07

 

 

Тогда частное решение примет вид:

 

 

=-5.6 log2^x

 

 

 

2.у^,,-9у^,+14у=е^2х

 

r²-9r+14=0       D=(-9)²-4*1*14=25

 

r₁==7         r₂==2

 

y₁=e^7x             y₂=e^2x

 

Общее решение  имеет вид:

 

=C₁e^7x+C₂e^2x

 

 

Задание 83.Исследовать сходимость ряда

 

 

 

 

Используем  признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

В нашем  случае         

 

Вычисляем предел:  

 

 

=

 

q < 1 следовательно ряд сходится.