Контрольная работа по "Линейная алгебра"

ЧАСТЬ 1

 

Задание 1

 

Определить объем выпуска  продукции каждого вида при заданных запасах сырья (полученную систему решить: 1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса).

 

Решение

Составим систему алгебраических уравнений:

3x +3y + 6z = 42

2x + 7y + 8z = 63

5x + 6у + 8z = 63

 

Запишем в виде расширенной матрицы:

3   3   6   42

2   7   8   63

5   6   8   63

 

1. Метод Крамера.

X_j = Δ_j/ Δ

Вычислим определитель Δ и определители Δ_j для всех значений j = 1, 2, 3.

         3   3   6

Δ =   2   7   8    = a₁₁ × A₁₁ + a₁₂ × A₁₂ + a₁₃ ×A₁₃ = a₁₁ × (-1)¹⁺¹ × (a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂) +  

         5   6   8

 

a₁₂ × (-1)¹⁺² × (a₂₁a₃₃ – a₂₃a₃₁) + a₁₃ × (-1)¹⁺³ × (a₂₁a₃₂ – a₂₂a₃₁) = 3× (7×8 - 8×6) - 3× (8×2 - 8×5) + 6× (2×6 - 5×7) = 24 + 72 – 138 = -42

 

          42   3   6

Δ₁ =   63   7   8   = 42× (7×8 - 6×8) - 3× (63×8 - 63×8) + 6× (63×6 - 7×63) = 336 –

63. 6   8

 

0 – 378 = -42

 

 

3   42   6

Δ₂ =   2   63   8   = 3 × (63×8 - 63×8) - 42× (2×8 - 5×8) + 6× (2×63 - 5×63) = 1008

          5   63   8

 

- 1134 = -126

 

         3   3   42

Δ₃ =   2   7   63   = 3× (7×63 - 6×63) - 3× (2×63 - 63×5) + 42× (2×6 - 5×7) = 189 +

          5   6   63

 

567  – 966 = -210

Объём выпуска продукции  каждого вида при заданных запасах  сырья составит:

S₁ = Δ₁/Δ = -42/-42 = 1,0

S₂ = Δ₂/Δ = -126/-42 = 3,0

S₃ = Δ₃/Δ = -210/-42 = 5,0

 Проверка:

3×1,0 + 3×3,0 + 6×5,0 = 42

2×1,0 + 7×3,0 + 8×5,0 = 63

5×1,0 + 6×3,0 + 8×5,0 = 63

 

Ответ: S₁ = 1,0     S₂ = 3,0     S₃ = 5,0

 

2. Матричный метод.

 

A^-1 = 1/Δ × (Ā)^T

Δ = - 42   B^T = (42, 63, 63)

 Протранспонируем матрицу А

          3   2   5   ^T

A^T =   3   7   6    

           6   8   8

 

Вычислим алгебраические дополнения транспонируемой матрицы

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ × 7  6  = (7×8 - 6×8)= 8

                        8  8

A₁₂ = (-1)¹⁺²× 3  6   = - (3×8 - 6×6) = 12

                       6  8

A₁₃ = (-1)¹⁺³ × M₁₃ = (3×8 - 6×7) = -18

A₂₁ = (-1)²⁺¹ × M₂₁ = - (2×8 - 5×8) = 24

A₂₂ = (-1)²⁺² × M₂₂ = (3×8 - 5×6) = -6

A₂₃ = (-1)²⁺³ × M₂₃ = - (3×8 - 2×6) = -12

A₃₁ = (-1)³⁺¹ × M₃₁ = (2×6 - 7×5) = -23

A₃₂ = (-1)³⁺² × M₃₂ = - (3×6 - 5×3) = -3

A₃₃ = (-1)³⁺³ × M₃₃ = (3×7 - 3×2) = 15

 

Из алгебраических дополнений составим союзную матрицу:

        8    12   -18 

Ā =  24   -6   -12

        -23  -3   15

 

 Полученную матрицу подставим  в формулу для нахождения обратной матрицы, получаем следующее:

                        8  12 -18

A^-1 = - 1/42 × 24  -6  -12  

                        -23  -3  15

 

Находим неизвестные. Для  этого перемножим обратную матрицу  и столбец свободных членов.

X = A^-1 × B

         -8/42   -12/42   18/42         42       -8/42×42 - 12/42×63 + 18/42×63       1,0

X =   -24/42  -6/42   -12/42   ×   63   =  -24/42×42 - 6/42×63 – 12/42×63   =   3,0

         -23/42  -3/42    15/42         63       -23/42×42 – 3/42×63 + 15/42×63       5,0

 

Ответ: получили следующие данные по объемам:

S₁ = 1,0        S₂ = 3,0       S₃ = 5,0

 

 Проверка:

3×1,0 + 3×3,0 + 6×5,0 = 42

2×1,0 + 7×3,0 + 8×5,0 = 63

5×1,0 + 6×3,0 + 8×5,0 = 63

 

3. Метод Гаусса

 

 Запишем систему в виде расширенной  матрицы, т.е. составим матрицу из коэффициентов  системы и присоединим к ней  столбец свободных элементов, для удобства отделенный вертикальной чертой:

3   3   6   42

2   7   8   63

5   6   8   63

 

Выполняя элементарные преобразования над строками этой матрицы, приведем ее к треугольному виду. Для  этого проведем следующие действия.

1. Умножим первую строку на 2, а вторую строку на -3. Добавим соответствующие элементы второй строки к первой:

2×3 + 2×(-3)   2×3 + 7×(-3)   6×2 + 8×(-3)     42×2 + 63×(-3)     0  -15 -12 -105

2  7      8    63  = 2   7     8    63

5  6      8    63      5   6     8    63

 

2. Умножим вторую строку на 5, а третью строку на -2. Добавим к второй строке третью строку:

0  -15        -12  -105       0  -15 -12  -105  

2×5 + 5×(-2)    7×5 + 6×(-2)     8×5 + 8×(-2)   63×5 + 63×(-2)  =   0   23  24   189

5    6          8   63       5    6    8     63

 

3. Умножим первую строку на 23. Вторую строку на 15. Добавим вторую строку к первой:

0 + 0   (-15)×23 + 23×15   (-12)×23 + 24×14  (-105)×23 + 189×15  0  0  84 420

   0     23      24     189                   =  0 23 24 189

  5      6          8       63     5  6   8  63

 

 От расширенной матрицы перейдем к системе уравнений, эквивалентной  заданной

84z = 420

23y + 24z = 189

5x + 6у + 8z = 63

Решая первое уравнение системы, найдем значение z = 420/84 = 5,0

Подставляя значение z = 5,0 во второе уравнение системы, получим следующее:

23y + 24 × 5,0 = 189

23y = 189 – 24 × 5,0

23y = 69,0

y = 3,0

Подставив в третье уравнение данные значения получим значение x:

5x + 6 × 3,0 + 8 × 5,0 = 63

5x = 63 – 40 - 18

5x = 5

x = 1,0

 

 Проверка:

3×1,0 + 3×3,0 + 6×5,0 = 42

2×1,0 + 7×3,0 + 8×5,0 = 63

5×1,0 + 6×3,0 + 8×5,0 = 63

 

Ответ: { S₁ = 1,0; S₂ = 3,0; S₃ = 5,0}

 

 

 

 

 

Задание 2

 

        2   1  -1   2   4  -3

А =  3  -2   4  В =    1  -3   2

        1  -5   3   3   1  -1

 

Решение

1. Выполним сложение матриц А и B. Даны матрицы размером 3×3.

C = A + В

        2   1 -1       2   4  -3       2 + 2    1 + 4       (-1) + (-3)      4   5 -4

С =  3  -2  4  +   1  -3   2   =  3 + 1   (-2) + (-3)    4 + 2     =  4  -5  6

        1  -5  3        3  1  -1       1 + 3   (-5) + 1       3 + (-1)       4  -4  2

 

2. Выполним умножение матриц А и В. С = А × В

        2   1 -1       2   4  -3       2×2 + 1×1 + (-1)×3      2×4 + 1×(-3) + (-1)×1   

С =  3  -2  4   ×  1  -3   2  =    3×2 - 2×1 + 4×3          3×4 - 2×(-3) + 4×1

        1  -5  3       3   1  -1        1×2 - 5×1 + 3× 3          1×4 - 5×(-3) + 3×1

2×(-3) + 1×2 - 1×(-1)        2     4   -3

3×(-3) - 2×2 + 4×(-1)    = 16  22 -17

1×(-3) - 5×2 + 3×(-1)         6   22  -16

 

3. Выполним транспонирование матриц А и В.

 Операция транспонирования заключается  в том, что строки и столбцы  в исходной матрице меняются ролями.

          2   1  -1    ^Т   2   3   1

А^Т =   3  -2  4   =  1 -2  -5

 1  -5  3       -1  4   3

         2   4  -3  ^Т     2   1   3

В^Т =  1  -3   2  =   4  -3   1  

         3   1   -1      -3   2  -1

 

4. Найдем матрицу обратную матрице А.

Для этого найдем алгебраическое дополнение А_ij к элементам a_ij, расположенным в первой строке матрицы А:

А₁₁ =  -2   4 = (-2) × 3 - (-5) × 4 = 14

    -5   3

А₁₂ =  -  3   4  = - (3×3 – 1×4) = -5

       1   3

 

А₁₃ = 3  -2  = (-5)×3 – (-2)×1 = -13

          1  -5

Δ = а₁₁ × А₁₁ + а₁₂ × А₁₂ + а₁₃ × А₁₃ = 2×14 + 1×(-5) + (-1)×(-13) = 28–5 + 13 = 36

 

Далее получаем алгебраические дополнения для второй и третьей строк.

А₂₁ = -  1  -1  = - (1×3 –(-5)×(-1)) =2            А₃₁ =  1    -1 = 1×4 – (-2)×(-1) = 2

     -5  3        -2   4

А₂₂ =  2  -1 = 2×3 - 1×(-1)  = 7     А₃₂ = -  2 -1 = - (2×4 - 3×(-1)) = -11

  1  3            3  4

А₂₃ = -  2  1 = - (2×(-5) - 1×1) = 11     А₃₃ =  2   1 = 2×(-2) - 1×3 = -7

         1 -5          3  -2

Составим присоединенную матрицу.

 14 -5 -13

Ā =    2    7   11

2   -11 -7

 Обратная матрица:

14 -5 -13  ^Т     14/36  2/36     2/36

А^-1 = 1/36 × 2   7   11    = -5/36   7/36    -11/36

2   -11 -7   -13/36 11/36  -7/36

 

5. Проверим равенство А^-1 × А = Е.

     14/36   2/36   2/36     2   1   -1      14/36×2+2/36×3+2/36×1        14/36×1+

А^-1× А = -5/36   7/36 -11/36 × 3  -2    4  =  -5/36×2+7/36×3-11/36×1       -5/36×1+

     -13/36 11/36 -7/36     1  -5    3      -13/36×2+11/36×3–7/36×1    -13/36×1

2/36×(-2)+2/36×(-5)        14/36×(-1)+2/36×4+2/36×3         1  0  0

7/36×(-2)-11/36×(-5)  -5/36×(-1)+7/36×4-11/36×3    =  0  1  0  = Е

+11/36×(-2)–7/36×(-5)   -13/36×(-1)+11/36×4-7/36×3      0  0  1

         

 

 

 

 

 

 

Задание 3/1

х + 4y – z = 6

5y + 4z = -20

3x – 2y + 5z = -22

 Запишем систему в виде расширенной  матрицы.

1  4  -1  6

0  5   4 -20

3  -2  5 -22

 

1. Метод Крамера.

Вычислим определитель Δ и определители Δ_j для всех значений j = 1, 2, 3 по элементам первой строки.

Δ = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) = 1× (5×5 – (-2) ×4) - 4×(0×5 – 3×4) + (-1) × (0×(-2) - 5×3) = 33 + 48 + 15 =  96        

Δ = 96

          6    4   -1

Δ₁ =  -20  5  4   = 6× (5×5 – 4×(-2)) - 4× (5×(-20) – 4×(-22)) + (-1)× ((-20)×(-2) -

         -22 -2   5

 

 5×(-22)) = 198 + 48 – 150 = 96

1. 6 -1

Δ₂ =   0  -20   4   = 1× (5× (-20) – (-22)×4) – 6× (0×5 – 3×4) + (-1)× (0×(-22) - 

          3  -22   5

 

3×(-20)) = -12 + 72 – 60 = 0

          1   4    6

Δ₃ =   0   5   -20   = 1× ((-22)×5 – (-2)×(-20)) - 4× (0×(-22) - 3×(-20)) + 6× (0×(-2)-

          3  -2   -22

5×3) = -150 – 240 – 90 = - 480

Зная определители найдем значения для x, y и z:

x = Δ₁/Δ = 96/96 = 1,0

y = Δ₂/Δ = 0/96 = 0

z = Δ₃/Δ = -480/96 = -5,0

Проверка:

1×1 + 4×0× - 1×(-5) = 6

5×0 + 4×(-5) = -20

3×1 - 2×0 + 5×(-5) = -22

Ответ: {x = 1,0, y = 0, z = -5,0}

 

2. Метод обратной матрицы (матричный метод)

Вычислим определитель Δ, убедимся что он не равен 0.

Δ = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) = 1× (5×5 – (-2) ×4) - 4×(0×5 – 3×4) + (-1) × (0×(-2) - 5×3) = 33 + 48 + 15 =  96        

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ × 5  4 = 5×5 – (-2) ×4 = 33

                       -2 5

A₁₂ = (-1)¹⁺²× 0  4   = - (0×5 – 3×4) = 12

                      3   5

A₁₃ = (-1)¹⁺³× 0  5  = 0×(-2) – 3×5 = -15

                       3 -2