Контрольная работа по "Линейная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Две прямые на  плоскости задаются уравнениями  и . Параллельны ли эти прямые? Каково между ними расстояние?

Решение.

Общее уравнение прямой имеет вид:

,

где , , – направляющий вектор прямой.

Определим координаты направляющего  вектора:

1.     

2.     

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, следовательно, они  параллельны.

Определим расстояние между прямыми. На прямой зафиксируем точку и найдём расстояние от этой точки до прямой по формуле:

.

.

Ответ: .

 

2. Даны два взаимно-ортогональных  вектора  и такие, что , . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах   и .

Решение.

Ответ: .

 

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;-1) параллельно плоскости .

Решение.

Общее уравнение плоскости:

,

где – нормальный вектор плоскости.

Для плоскости  нормальный вектор имеет координаты . Искомая плоскость в качестве нормального вектора имеет тот же самый вектор , т.к. плоскости параллельны.

Общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку , имеет вид:

.

Находим уравнение плоскости, параллельной данной и проходящей через точку  :

,

,

.

Ответ: .

 

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Так как  , то система имеет бесконечно много решений. Решение находим методом Гаусса.

  ~   ~ 

 

Ответ: , .

 

5. Пусть . Найти матрицу .

Решение.

Ответ: .

6. Решить систему линейных алгебраических уравнений:   а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы.

Решение.

а) по формулам Крамера

б) методом обратной матрицы

   обратная матрица существует.

Обратная матрица

.

,

,

,

.

.

.

Ответ: , .

 

7. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:

 

 

 

 

Ответ:

 

Примечание. Здесь обозначено количество букв в Вашей: = 7 - фамилии, = 7 - имени.