Контрольная работа по "Комбинаторике и теории вероятности"

 

Комбинаторика 

9. В музей приехали 10 экспозиций. Сколькими способами можно выставить эти экспозиции в один день, если учесть, что музей может вместить 4 экспозиции?

 

Решение.

 

 способов выставок  экспозиции.

Ответ: 210

2 Теория вероятности (классическая  вероятность) 

7. Преступник  знает, что шифр сейфа составлен  из цифр 1, 3, 7, 9, но не знает,  в каком порядке их набирать. Какова вероятность того, что  первые две цифры он набрал  верно?

 

Решение.

 

Для определенности будем считать упорядоченную пару первых цифр шифра. Число таких пар равно числу размещений из четырех по два, т.е. 

Так как в этом случае только один исход является благоприятным, то искомая вероятность равна 1/12.

Ответ: 1/12

3. Теория вероятности (основные теоремы)

В городе три коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95, 0,90 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка; б) что обанкротится хотя бы один банк?

 

Решение.

а) – вероятность того, что первый банк обанкротится

 – вероятность того, что второй банк обанкротится

 – вероятность того, что третий банк обанкротится

  - вероятность того, что обанкротятся все три банка

б) – вероятность того, что обанкротится хотя бы один банк.

Ответ: 0,00075; 0,27325

 

4. Теория вероятности (события) 

Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие  детали от трех поставщиков. Первый составляет 50% всех комплектующих деталей, второй – 20%, третий – 30% деталей. Известно, что  качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4%, второго  – 5%, третьего – 2%. Определите вероятность  того, что деталь, выбранная наудачу  из всех полученных, будет бракованной. Найдите вероятность того, что  бракованная деталь была получена от первого поставщика

 

Решение.

Имеется три поставщика, пусть событие  комплектующие от первого поставщика, комплектующие от второго поставщика, комплектующие от третьего поставщика.

 

 

 

Пусть событие А – бракованная деталь,

тогда вероятность бракованной  детали при условии, что деталь будет  взята от первого поставщика  ;

при условии, что деталь будет  взята от второго поставщика  ;

при условии, что деталь будет  взята от третьего поставщика  .

Вероятность того, что деталь будет бракованной 

;

Вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика

 

Ответ: 0,036; 0,55

 

5. Теория вероятностей (формула  Бернулли)

7. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что в семье, где четверо детей: а) не менее двух девочек; б) четыре мальчика

 

Решение.

а) – вероятность того, что в семье из четверых детей не менее двух девочек.

б) - вероятность того, что в семье из четверых детей 4 мальчика.

Ответ: 0,29; 0,0703

6. Теория вероятности (случайные  величины)

5. Некачественные  изделия в поступившей на проверку  партии составляют 10% от общего  числа. Составить закон распределения  числа некачественных изделий  среди четырех проверенных. Построить  многоугольник распределения. Найти  математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

Решение.

Дискретная случайная  величина Х – число некачественных изделий имеет следующие возможные значения:0, 1, 2, 3, 4. Применим формулу Бернулли для нахождения соответствующих вероятностей.

 

 

 

 

 

 

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,00036	0,0001

 

Р = 0,6561 + 0,2916 + 0,0485 + 0,00036 + 0,0001 = 1

 

 

 

7. Математическая  статистика 

7. Управляющий филиалом  банка собрал данные о размере  открытых вкладов (в тыс. рублей):

24	41	39	38	28	33	17	40
20	38	20	11	43	24	38	23
22	29	49	12	36	23	35	40
20	29	38	23	40	49	47	34
48	40	35	31	30	47	25	20

Построить интервальную группировку  данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти средний размер открываемого вклада и исправленную дисперсию  для выборки. Построить доверительные  интервалы надежности 80% и 95% для  среднего размера вклада.

 

Решение.