Контрольная работа по дисциплине "Высшая математика"

 А(-2;0;2)  В(2;-2;-1)  С(-1;1;-3)

1. Найти координаты =   = =

Ответ: =(4;-2;-3)  =(1;1;-5)  =(3;-3;2)

Проверить компланарность.

-Если   abc = 0 =>векторы компланарны, проверим:

= 4 -2 -3               1  1 -5 =  8+9+30-(-9)+60-4 = 47-47 = 0                                                                                                3 -3 2               

Векторы компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение векторов:

= +

= -

= -

2. Найти α = <BAC

Cos α =   a*b       ; |a| = =

              |a|*|b|

                                   |b| = =

Cos α = 4*1+(-2)*1+(-3)*(-5)     = 17

                 *                             α=arcos    17

                                                                                          

Ответ:   α=arcos    17

                               

3)Найти   = ?      = ?

  =    ; =  . Подставим значения из ② примера, получим:

                   | |                                                 =          =

                                  Ответ: ;

4)  Найти  вектор , если L    L  и || = 1

  // ;   = x 

  =   x    =      = - + = (13;17;6)

   =

 Ответ:-      

                 =(

5) Найти x  , выяснить

  x    =  =

= (-13; -17; -6) => коллинеарные, т.к //      

Ответ: коллинеарные.

6) Вычислить  L = ?

Если  L , то = 0. Вектор может быть направлен в любую сторону, это не повлияет  на его перпендикулярность, значит, если:

  , то = 3 * () + (-3) * + 2 * = 0 => L

Ответ: L

7) Найти 

  ❶  = | x 

 x  = (13;17;6) из ④ задания.

| x  | = = = кв. ед

❷ | x  *|* sin ( ^ )  = | *  ;

 cos( ^  = из ② задания | x  * * =

= | x  = * = кв. ед

Ответ: = кв. ед

8) Найти длину и его направление.

Найдем координаты Если - диагональ параллелепипеда, построенного на векторах и , то :

= + +   ;  - 8

= + +   ;  = - 18

= + +    ; = -14

    = (-8; -18; -14)

 | = =    

Направление :

Cos α =   ; Cos β =   ; Cos ϒ =

   Cos α =

Cos β =             Ответ: ; Cos α = ; Cos β = ; Cos ϒ =

Cos ϒ =

9) Разложить  по базису:

  = α + β + ϒ   = (-8; -18; -14) из ⑧ задания.

= + 2  => = (6; 0; -13)

 = 3( - ) => = (3; 3; -15)

= -   =>   = (-17; -15; -3)

-8 = 6α - 3β - 17ϒ

-18 = 3β - 15ϒ

-14 = -13α - 15β - 3ϒ

Что бы найти компоненты базиса решим систему уравнений:

а) Метод Крамера.

    α =  
                                                 β =      ∆ =    = -54 +585 – 663 – 1350 = -1482

                                                      ϒ =

=     = -2964

=    =  1482

=     = -1482

α = =   = 2

β = = = -1

ϒ = = = 1

б) Матричный метод.

     *          =                 

 

                А                           Х

X = * B

∆A = -1482

 

   = = -234      = - = 264    = = 6

   = - = 195     = = -239     = - = 90

    = = 39         = - = 51      = = 18 

=      

 

=        *    =     = -       =

В) Метод Жордана – Гаусса

         ̴       ̴              

    ̴            ̴            ̴    

Г) Метод Гаусса

            ̴              ̴       

̴            R(A) = R() = r=n=3, => 1 решение.

 

α + 1/2 β – 17/6ϒ = -4/3             ϒ = 1                                    α = 2

       β - 5ϒ = -6                                β = -6 + 5                            β = -1

             -494/6ϒ = -494/6              α = -4/3 + 17/6 +           ϒ = 1