Контрольная работа по дисциплине "Теория вероятности"

 

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждения

Высшего профессионального образования

«Хабаровский государственный технический университет»

 

 

                                                             Кафедра «Прикладная математика»

 

 

 

Контрольная работа №2

Вариант 3

 

 

 

                                                                       Выполнил студент:

                                                       Специальность: НЭ (б) зу-42

                                         Курс: 1 (2014-2017)

                                                                      Номер зачетной книжки

                                          Фамилия:

                               Имя:

                                             Отчество:

 

 

 

 

 

Хабаровск 2015

3. В коробке 10 конфет с шоколадной начинкой и 14 конфет с желейной начинкой. Гость пробует 3 конфеты. Найти вероятность того, что все они с желейной начинкой.

Решение:

 

13. В первом ящике 8 шаров, из них 4 белые. Во втором 5 шаров из них 3белые. Сначала из второго ящика в первый переложили один шар, затем из первого ящика извлекли 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар будет белым.

Решение: Рассмотрим 2 гипотезы:

В1-из 2 ящика в первый будет переложен белый шар.

В2-из 2 ящика в первый будет переложен другой шар.

Обозначим зависимое событие А из первого ящика будет извлечен шар

1. Р(В1)=3/5- вероятность того, что из второго ящика в первый переложили белый шар.

Пусть гипотеза В1 осуществилась, тогда в 1 ящике стало 9 шаров из которых 5 белые, то есть

Р(А)=5/9-вероятность того, что из первого ящика извлечен белый шар, при условии того, что туда был переложен белый шар из второго ящика.

По теореме умножения вероятностей:

Р(В1А)=3/5*5/9=1/3

2. Р(В2)=2/5-вероятность того, что из второго ящика в первый переложили шар другого цвета.

Пусть гипотеза В2 осуществилась, тогда в первом ящике стало 9 шаров из которых 4 белые, то сеть

Р(А)=4/9-вероятность того, что из первого ящика извлечен белый шар, при условии того, что туда был переложен из второго ящика шар другого цвета.

По теореме умножения вероятностей:

Р(В2А)=2/5*4/9=8/45

Р(А)=1/3+8/45=23/45≈0,5111-вероятность того, что из первого ящика извлечен белый шар

 

23. При каждом вкладе инвестиций в промышленные проекты вероятность получения с них прибыли равна 0,7. Определить вероятность того, что из 10 проектов принесут прибыль: а) не меньше 4 предприятий б)7 предприятий

Решение: По условию n=10, p=0,7. Искомая вероятность равна

 P=

P=0,0367+0,1029+0,2001+0,2668+0,2335+0,1211+0,0282=0,9893   

 

33. Два стрелка делают по выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка 0,6, для второго 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попаданий в мишень. Найти числовые характеристики МХ, DX, ϭ(х).

Решение: Возможные числа попадания в мишень будут: 0,1,2 Найдем вероятности попадания одним стрелком, двумя и вероятность непопадания ни одним стрелком.

Х=2: Р=0,6*0,7=0,42

Х=1: Р=0,6*0,3+0,7*0,4=0,46

Х=0: Р=0,4*0,3=0,12

Проверим: 0,42+0,46+0,12=1

Составим закон распределения Х:

Х	0	1	2
Р	0,12	0,46	0,42

 

Составим функцию:

F(x)=0, если x<0

Если 0≤x<1 F(x)=P(X=0)=0,12

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0,12+0,46=0,58 если 1≤х<2

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,12+0,46+0,42=1 при х≥2

Таким образом получаем:

F(x)=

Найдем математическое ожидание:

М(х)=0*0,12+1*0,46+2*0,42=1,3

Найдем дисперсию DX:

DX=

Ϭ=

 

43. В таблице представлены данные о месячных доходах жителей региона для 1000 жителей. На уровне значимости α=0,05, проверить гипотезу о том, что доходы жителей можно описать нормальным законом распределения, используя критерий согласия Пирсона.

Номер интервала	Интервалы доходов	Число жителей
1	Менее 500	58
2	500-1000	96
3	1000-1500	239
4	1500-2000	328
5	2000-2500	147
6	Свыше 2500	132

1. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант:

	250	750	1250	1750	2250	2750
	58	96	239	328	147	132

 

2. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее отклонение:

     ϭ=

3. Найдем интервалы ( :

Номер интервала	Границы интервала		Границы интервала
1	0	500	-∞	-1,73	-0,5	-0,4582	41,8
2	500	1000	-1,73	-0,98	-0,4582	-0,3365	121,7
3	1000	1500	-0,98	-0,23	-0,3365	-0,0910	245,5
4	1500	2000	-0,23	0,52	-0,0910	0,1985	289,5
5	2000	2500	0,52	1,27	0,1985	0,3980	199,5
6	2500	∞	1,2	+∞	0,3980	+0,5	102
7							1000

 

Номер интервала
1	58	41,8	6,28	3364	80,48
2	96	121,7	5,43	9216	75,73
3	239	245,5	0,17	57121	232,67
4	328	289,5	5,12	107584	371,62
5	147	199,5	13,82	21609	108,32
6	132	102	8,82	17424	170,82
					1039,64

 

По таблице критических точек распределения Пирсона по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k=s-3=6-3=3 находим критическую точку:

Так как 39,64= , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х отвергаем.

53. Дана выборка двумерной случайной величины (n=20)

Требуется:

А) построить корреляционное поле

Б) вычислить выборочный коэффициент корреляции

С) составить уравнение регрессии У на Х  и построить линию регрессии.

Х	У
3,1	8,5
3,8	11,2
4,5	17,2
5,2	19,8
5,9	20,5
6,6	26,3
7,3	28,1
8	38,2
8,7	36,5
9,4	40
10,1	43,5
10,8	50,2
11,5	40,2
12,2	54
12,9	45,3
13,6	61
14,3	64,5
15	66,2
15,7	71,5
16,4	75

 

Вычисляем оценки числовых характеристик:

Уравнение регрессии имеет вид:

У-40,89=0,98 . Следовательно:

У=4,8х-5,91