Контрольная работа по дисциплине "Математика"

Вариант 20.

1. В круг радиуса 60 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 4.

Решение:

Воспользуемся формулой геометрической вероятности. Площадь круга равна . Площадь квадрата: . Тогда искомая вероятность:

.

Ответ: 0,0044.

 

2. Для сигнализации о возгорании  установлены два независимо работающих  датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,4 и 0,6. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

Решение:

Пусть событие А1 состоит в том, что сработает первый датчик, А2 – второй. Тогда событие В – «при пожаре сработает хотя бы один датчик» можно записать как

.

Его вероятность можно определить как

.

Пусть событие С – «при пожаре сработает ровно один датчик»:

.

Его вероятность:

Ответ: 0,76; 0,52.

 

3. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и 0,35. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно взятой винтовки. Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что стрелок попадет в мишень после одного выстрела из случайно взятой винтовки. Возможны 5 равновероятных гипотез о выбранной винтовке. По условию

По формуле полной вероятности

Вероятность того, что была выбрана первая винтовка, определим по формуле Байеса:

.

Ответ: 0,65; 0,1538.

4. Вероятность того, что баскетболист  при броске попадет в корзину, равна 0,2. Определить вероятность того, что, сделав 6 бросков, он 3 раза попадет в корзину.

Решение:

По формуле Бернулли

.

Тогда

Ответ: 0,0819.

 

5. В жилом доме имеется 6400 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между 3120 и 3280.

Решение:

Применим интегральную формулу Лапласа:

.

Тогда

Ответ: 0,9544.

 

6. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 360 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 2 вызова; более 2 вызовов.

Решение:

В минуту в среднем АТС получает 360/60=60 вызовов. Применим формулу Пуассона:

.

а) По условию . Тогда

.

б) По условию . Тогда

.

 

7. Случайная величина Х задана  рядом распределения

	-1	0	1
	0,3	0,4	0,3

Найти . Найти .

Решение: