Контрольная работа по дисциплине "Линейная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Даны вершины треугольника А(13; 7), В(4; 19), С(-3; -5). Найти

а) длину сторон АВ и АС

б) внутренний угол при вершине А

в) уравнение стороны ВС

г) уравнение высоты АН

д) уравнение медианы СМ

е) систему неравенств, определяющих треугольник

Решение:

а) Найдем координаты вектора :

.

Длина стороны АВ равна

.

Найдем координаты вектора :

.

Длина стороны АВ равна

.

б) Напишем формулу скалярного умножения для векторов АB и AC.

АВ*АС = |AB| * |AC|*cos < A  

Для нахождения угла А, нам достаточно найти косинус данного угла. Из предыдущей формулы запишем выражение для косинуса угла А.

cos < A = AB*AC/|AB| * |AC|

Найдем скалярное произведение векторов  АВ и АС   

Координаты точек A, B и C мы знаем.

A (xа, yа) = (13, 7)

B (xb, yb) = (4, 19)

C (xc, yc) = (-3, -5)

AB = ( xb – xa, yb – ya) = ( 4 - 13, 19 – 7 ) = ( -9, 12)

AC = ( xc – xa, yc – ya) = ( -3 – 13, -5 - 7 ) = ( -16, -12)

AB*AC = -9 * (-16) + 12 * (-12) = 0

Скалярное произведение векторов равно нулю, т.е.

cos < A  = 0

< A  = 900

в) Уравнение прямой проходящей через точки В (xb, yb) и C (xc, yc) в общем виде:

x – xb / xc – xb = y – yb / yc - yb

Подставим координаты точек C (-3, -5)  и  B (4, 19) в уравнение прямой

x – 4 / -3 – 4 = у – 19 / -5 – 19

х – 4 / -7 = у – 19 / -24

В знаменателях пропорции стоят числа 7 и 24.

-24(х – 4) = -7(у – 19)

-24х + 96 = -7у + 133

-24х + 7у  – 37 = 0 – уравнение стороны ВС

г) Уравнение прямой проходящей через точки А (xа, yа) и Н (xн, yн) в общем виде:

x – xа / xн – xа = y – yа / yн – yа

Мы не знаем координаты точки Н, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой AН

Mы знаем, что прямая AН перпендикулярна прямой CB, следовательно, направляющий вектор прямой AН параллелен нормальному вектору прямой CB.

S AH || N CB

Т.е. в качестве направляющего вектора прямой AН можно принять нормальный вектор прямой CB.

Вектор N CB (24, -7)

Подставим координаты вектора N CB = (24, -7) в уравнение

x – xа / 24 = y – yа / -7

Подставим координаты точки A (13, 7).

x – 13 / 24 = y – 7 / -7

-7(х – 13) = 24(у – 7)

-7х + 91 = 24у  – 168

-7х – 24у + 259 = 0 – уравнение высоты АН.

д) Уравнение прямой проходящей через точки С (xс, yс) и М (xм, yм) в общем виде:

x – xс / xм – xс = y – yс / yм – yс

Мы не знаем координаты точки М, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CМ.

Поступим следующим образом.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, таким образом, чтобы сторона AB являлась диагональю.

Очевидный факт, что диагонали в параллелограмме делятся пополам, т.е.

AМ = МB

Следовательно, точка М лежит на прямой CD.

В качестве направляющего вектора прямой CМ можно принять

вектор СD, который несложно найти.

Координаты точек A, B и C мы знаем.

A (xа, yа) = (13, 7)

B (xb, yb) = (4, 19)

C (xc, yc) = (-3, -5)

CD = CA + CB

CA = ( xa – xc, ya – yc) = ( 13 – (-3), 7 – (-5) ) = ( 16, 12)

CB = ( xb – xc, yb – yc) = ( 4 – (-3), 19 – (-5) ) = ( 7, 24)

CD = CA + CB = (16 + 7, 12 + 24) = (23, 36)

Подставим координаты вектора CD = (23, 36) в уравнение

x – xс / 23 = y – yс / 36

Подставим координаты точки C (-3, -5).

x – (-3) / 23 = y – (-5) / 36

x + 3 / 23 = y + 5 / 36

36 ( x + 3 ) = 23 ( y + 5 )

36 x + 108 = 23 y + 115

36. - 23 y - 7 = 0 - уравнение медианы CМ.

          е) Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.

Найдем уравнения АВ и АС по формуле  .

Подставим координаты точек A (13, 7)  и  B (4, 19) в уравнение прямой

x – 13 / 4 – 13 = y – 7 / 19 – 7

x – 13 / -9 = y – 7 / 12

x – 13 / -3 = y – 7 / 4

4 ( x - 13 ) = -3 ( y - 7 )

4 x - 52 = - 3 y + 21

4 x + 3 y - 73 = 0 - уравнение прямой AB.

Подставим координаты точек A (13, 7)  и  C (-3, -5) в уравнение прямой

x – 13 / -3 – 13 = y – 7 / -5 – 7

x – 13 / -16 = y – 7 / -12

x – 13 / -4 = y – 7 / -3

-3 ( x - 13 ) = -4 ( y - 7 )

- 3 x + 39 = - 4 y + 28

- 3 x + 4 y + 11 = 0 - уравнение прямой AC.

Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:

    4∙(-3)+3∙(-5)-73=-12-15-73=-100 ≤ 0.

Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством:  4 x + 3 y – 73 ≤ 0.

Аналогично для прямых ВС и АС.

-24*13 + 7*7 – 37 = -312 + 49 – 37 = -300 ≤ 0.

- 3*4 + 4*19 + 11 = -12 + 76 + 11 = 75 ≥ 0

Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:

.

 

 

Задание 2

Даны вершины пирамиды A(3; 1; -5), B(2; -3; -2), C(2; -1; -3), D(2; -3; 7)

а) длину ребра АВ

б) угол между ребрами АВ и АС

в) площадь грани АВС

г) объем тетраэдра АВСD

д) уравнение прямой АВ

е) уравнение плоскости АВС

ж) угол между ребром АD и гранью АВС

з) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС

а) Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}={-1, -4, 3} 
Длина ребра АВ=5.0990195135927845

б) Найдем угол между ребрами AB и AC

cos γ  = -1 • -1 + -4 • -2 + 3 • 2;5.1 • 3 = 0.98

в) Площадь грани можно найти по формуле:

S = 1;2 |a| • |b| sin γ

где

sin γ = 1 - cos γ2

Найдем площадь грани ABC

Найдем угол между ребрами AB и AC:

cos γ  = -1 • -1 + -4 • -2 + 3 • 2;5.1 • 3 = 0.98

sin γ = 1 - 0.982 = 0.2

Площадь грани ABC

SABC = 1;2|AB| • |AC| sin γ = 1;2 5.1 • 3 • 0.2 = 1.52

г) Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

V = 1;6 | X1;Y1;Z1;X2;Y2;Z2;X3;Y3;Z3

V = 1;6 | -1;-4;3;-1;-2;2;-1;-4;12 = 18;6 = 3

Находим

∆ = (-1) • ((-2) • 12-(-4) • 2)-(-1) • ((-4) • 12-(-4) • 3)+(-1) • ((-4) • 2-(-2) • 3) = -18

д) Прямая, проходящая через точки A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

x - x1;x2 - x1 = y - y1;y2 - y1 = z - z1;z2 - z1

Уравнение прямой AB

x - 3;-1 = y - 1;-4 = z + 5;3

е) Если точки A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

| x-x0;y-y0;z-z0;x1-x0;y1-y0;z1-z0;x1-x0;y1-y0;z1-z0 = 0

Уравнение плоскости ABC

| x-3;y-1;z+5;-1;-4;3;-1;-2;2 = 0

(x-3)((-4) • 2-(-2) • 3) - (y-1)((-1) • 2-(-1) • 3) + (z+5)((-1) • (-2)-(-1) • (-4)) = -2x - 1y - 2z + 3 = 0

ж) Угол между ребром и гранью будет равен 90 градусов минус угол между гранью и нормалью к плоскости. 
Нормаль к плоскости ABC находится как векторное произведение 
[AB ; AC]={a1, a2, a3} 
[AB ; AC]={-2, -1, -2} 
Используя скалярное произведение, получаем:  
AD{-1, -4, 12}*N{-2, -1, -2}=|AD|*|N|*cos(beta) 
Получаем: -18=38.06573262134856cos(beta) 
Откуда: cos(beta)=-0.4728662437434604 
Угол между ребром AD и гранью ABC равен 28.220512053403737 градусов, синус этого угла равен 0.4728662437434604

з) Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

x - x0;A = y - y0;B = z - z0;C

x - 3;18 = y - 1;0 = z - -5;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тестовая часть

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. Векторы a = 3i + j -mk и b = ni + 2 j +14k будут коллинеарны, если

А. m =14, n = 3

Б. m = -14, n = -3

В. m= 6, n = -7

Г. m= -7, n = 6

2. Какая из приведенных прямых проходит через точку (2, –4)?

А. 3x + y - 2 = 0

Б. x + 7 y = 0

В. 2x - 4y = 5

Г. y = 4x + 3

3. Задано  уравнение прямой y = 2x + 4. Указать прямую, параллельную данной прямой

А. y = 2x - 4

Б. y = x + 3

В. y = -4x -1

Г. y = -x - 4

4. Даны точки А(2; -1) и B(- 4; - 7). Тогда координаты середины отрезка АВ равны

А. (1; 4)

Б. (-1; 4)

В. (1; - 4)

Г. (-1; - 4)

5. Даны точки A(-1; 2; - 4), B(- 5; 6; - 6), C(- 7; 5; 2). Косинус угла между векторами AB и AC равен

А. – 4/7

Б. 4/9

В. 3/8

Г. – 3/7

6. Найти объем  параллелепипеда, построенного на  векторах a = (1;- 2;5),

b = (2;4;-1), c = (1;3;-3)

А. 7

Б. –9

В. 9

Г. –7

7. Какая из  плоскостей проходит через точку  А (–2; –3; 1)

А. 3x - 4y +3z -11= 0

Б. x + 2y + z - 4 = 0

В. 6x - 2y - 4z +5 = 0

Г. x - 2y -5z +1= 0

8. Найти косинус  угла между плоскостями 4x +8y - z +1= 0 и

2x + y - 2z +15 = 0

А. – 6/7

Б. 2/3

В. 6/7

Г. – 2/3

9. При каких  значениях параметров m и n плоскости mx - y + 3z +1= 0 и

8x + ny +12z + 7 = 0 будут параллельны?

А. m = 2, n = 4

Б. m= -2, n = -4

В. m = 2, n = -4

Г. m = 4, n = 2

10. Даны точки  А (2, -2, -3), В(3, 1, 1), С(-3, -11, -11). Найти площадь

треугольника АВС.

А. 9

Б. 162

В. 18

Г. 324