Контрольная работа по «Численным методам в инженерных расчетах»

Московский государственный университет путей сообщения

 Казанский филиал

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Численные методы в инженерных расчетах»

Вариант 2

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 3 курса

группы ______

Сидорова Е.И.

 

Проверил:

 

 

 

 

КАЗАНЬ, 2012 
СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

 

 

Задача 2.

Найти абсолютную D и относительную d погрешности числа а = 3,751, имеющего только верные цифры.

Решение. Так как все 4 цифры числа а = 3,751 верны, то Dа = 0,001,

.

Решение в MathCad:

 

Задача 12.

Найти общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка: .

Решение. В качестве фундаментальной системы функций возьмем и(n) = рn, тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:

.

Решив уравнение, найдем корни: , . Запишем корни уравнения в виде .

; .

; .

Тогда

.

Вещественная фундаментальная система решений имеет вид:

, .

Общее решение уравнения будет иметь вид:

.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в том же виде, что и правая часть уравнения, т.е.

.

Для нахождения коэффициентов a, b подставим в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях полученного равенства. Имеем:

.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим

.

   Þ  

Следовательно,

.

Итак, общее решение указанного неоднородного разностного уравнения будет иметь вид (сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения):

.

Решим задачу в MathCad:

Таким образом, решение, полученное в MathCad имеет вид:

,

что полностью совпадает с решением, полученным аналитически.

 

Задача 22.

Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции f(x) с шагом и с шагом . Расчеты производить с точностью до 10-3.

 а = 2, b = 12.

Оценить абсолютную погрешность по правилу Рунге. Ответ дать с учетом поправки Рунге.

С помощью системы MathCad 6.0 + определить число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10-5.

Решение. 1) Шаг вычислений

.

Выпишем узлы и значения функции в узлах:

хk = x0 + kh, (k = 0, …, 10)	yk = f(xk) (k = 0, …, 10)
x0 = 2 + 0∙1 = 2;	;
x1 = 3;	у1 » 5,6569;
x2 = 4;	у2 » 8,6603;
x3 = 5;	у3 » 12;
x4 = 6;	у4 » 15,6525;
x5 = 7;	у5 » 19,5959;
x6 = 8;	у6 » 23,8118;
x7 = 9;	у7 » 28,2843;
x8 = 10;	у8 » 33;
x9 = 11;	у9 » 37,9473;
x10 = 12.	у10 » 43,1161.

 

Квадратурная формула Симпсона имеет вид:

.

= у0 + у1 + у2+ у3 + у4 + у5 + у6 + у7 + у8 + у9 = 3 + 5,6569 + 8,6603 + 12 + 15,6525 + 19,5959 + 23,8118 + 28,2843 + 33 + 37,9473 = 187,6089.

= у1 + у2+ у3 + у4 + у5 + у6 + у7 + у8 + у9 + у10 = 5,6569 + 8,6603 + 12 + 15,6525 + 19,5959 + 23,8118 + 28,2843 + 33 + 37,9473 + 43,1161 = 227,7250.

Найдем . Составим расчетную таблицу.

 

k
1		4,2866
2	3,5	7,1151
3	4,5	10,2896
4	5,5	13,7886
5	6,5	17,5891
6	7,5	21,6708
7	8,5	26,0168
8	9,5	30,6125
9	10,5	35,4454
10	11,5	40,5046
Сумма		207,3191

 

Итак,

.

 

2) Шаг вычислений 

.

k	хk = x0 + kh	f(xk)
0	2	3,0000	-	-
1	2,5	4,2866	2,25	3,6336
2	3	5,6569	2,75	4,9608
3	3,5	7,1151	3,25	6,3750
4	4	8,6603	3,75	7,8770
5	4,5	10,2896	4,25	9,4646
6	5	12,0000	4,75	11,1348
7	5,5	13,7886	5,25	12,8847
8	6	15,6525	5,75	14,7113
9	6,5	17,5891	6,25	16,6118
10	7	19,5959	6,75	18,5838
11	7,5	21,6708	7,25	20,6250
12	8	23,8118	7,75	22,7332
13	8,5	26,0168	8,25	24,9064
14	9	28,2843	8,75	27,1429
15	9,5	30,6125	9,25	29,4409
16	10	33,0000	9,75	31,7989
17	10,5	35,4454	10,25	34,2155
18	11	37,9473	10,75	36,6894
19	11,5	40,5046	11,25	39,2191
20	12	43,1161	11,75	41,8037
		394,9280
		435,0441
				414,8124

 

Отсюда:

.

На практике применяют правило Рунге. Для этого выбирают число n кратное 2 и вычисляют приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с шагом h = (b - a)/n (обозначаем это приближенное значение I2h). Затем вычисляют приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с шагом h/2 = (b - a)/2n (обозначаем его Ih).

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

,

где

k = 2,

h - шаг интегрирования;

p = 4 - порядок метода.

За приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле Симпсона с поправкой Рунге, принимают

.

С помощью системы MathCad 6.0 + определим число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10-5.

.

Из этого соотношения найдем n.

Вычислим 4-ю производную заданной функции:

Упростим получившееся выражение (Символика - Упростить)

 

Построим график получившейся функции:

Из графика видно, что функция достигает своего максимума в точке х = 12.

Найдем число шагов n, необходимых для достижения заданной точности 10-5:

Следовательно, доля достижения указанной точности нужно взять n = 19.

 

Задача 32.

Дано дифференциальное уравнение второго порядка вида с начальными условиями у(х0) = у0 и . Для данного дифференциального уравнения найти решение у = у(х), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде:

а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной ряд;

б) по методу Рунге-Кутта составить таблицу приближенных значений решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей заданному уравнению на отрезке [0; 0,5] с шагом h = 0,1.

Все вычисления производить с округлением до пятого десятичного знака. Результаты, полученные в п. а) и п. б), сравнить.

Решение. Решим задачу аналитически. Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Отсюда k1 = 1, k2 = 1. Решением уравнения является функция

.

Найдем неизвестные С1, С2, используя начальные условия.

.

Таким образом, , .

.

Решим задачу в MathCad.

а) Разложение решения в ряд для уравнения с начальными условиями у(0) = 0, производится по следующей схеме. Находим

.

Дифференцируем заданное уравнение: .

Находим:

Дифференцируем еще раз: .

Находим: .

Первые пять членов ряда Маклорена для искомой функции будут иметь вид:

.

б) Сведем задачу , у(0) = 0, к задаче Коши для системы двух уравнений 1-го порядка.

Будем использовать вычислительный процесс метода Рунге-Кутта. Приближенные значения , вычисляются последовательно по формулам:

   ,           

где

                                   

, .

Шаг сетки ; .

Проведем вычисления в Excel:

i	xi	k1	k2	k3	k4	l1	l2	l3	l4	y	v
0	0	0,2	0,2	0,1795	0,1631	0	-0,41	-0,369	-0,344	0	2
1	0,1	0,1683	0,1674	0,1502	0,1355	-0,019	-0,362	-0,327	-0,305	0,187	1,683
2	0,2	0,1399	0,1382	0,124	0,111	-0,034	-0,318	-0,289	-0,269	0,3435	1,3993
3	0,3	0,1146	0,1123	0,1008	0,0892	-0,047	-0,278	-0,254	-0,236	0,4728	1,1464
4	0,4	0,0922	0,0893	0,0801	0,0699	-0,058	-0,241	-0,223	-0,206	0,5777	0,9219
5	0,5	0,0723	0,069	0,062	0,053	-0,066	-0,208	-0,193	-0,178	0,6612	0,7235