Контрольная по линейной алгебре

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВПО  «Уральский государственный экономический  университет»

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Линейная алгебра

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка

Специальность: Управление качеством

Группа: УК-12 Ом

Аврусевич А. П

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск

2013

 

Тема  № 1. Матрицы и определители.

Задание 1.

Вычислить сумму матриц kA+mB, если ,

Решение:

Элементы  матрицы суммы определяются по формуле:

Вычислим  элементы строк матрицы суммы:

Таким образом, матрица суммы имеет вид:

Задание 1.1.

Вычислить определитель:

 

Решение:

Разложим  определитель по 3-й строке, т.к. в  ней содержится наибольшее количество нулей:

,

где – алгебраическое дополнение элемента .

Найдем алгебраическое дополнение по формуле:

,

где - минор элемента , который получается из исходного определителя «вычеркиванием» строки и столбца на пересечении которых стоит данный элемент:

;   ;

;    .

Подставим полученные значения в разложение определителя:

Ответ:

Задание 1.2.

Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку:

Решение:

Используем алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Т.к. матрица является квадратной (число строк равно числу столбцов), то обратная матрица существует.

2. Найдем определитель исходной  матрицы:

3. Находим матрицу, состоящую  из алгебраических дополнений  элементов исходной матрицы:

  

   

   

   

Т.о. получаем матрицу:

4. Полученную матрицу транспонируем:

5. Последнюю матрицу делим на  определитель исходной матрицы  и получаем обратную матрицу:

6. Осуществим проверку полученного  результата. Для этого находим  произведение полученной обратной  матрицы на исходную:

Получили единичную матрицу, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Задание 2.

Вычислить определитель третьего порядка:

 

Решение:

Определителем третьего порядка матрицы  называется число, которое определяется следующим образом, при помощи правила треугольников:

Используя правило треугольников, вычислим определитель:

 

 

 

 

Тема №2. Системы линейных уравнений

Решить систему уравнений 3-мя способами:

1. Методом обратной матрицы.

2. Методом Гаусса.

3. Методом Жордано-Гаусса.

Решение:

1. Запишем матрицу системы  и матрицу-столбец свободных членов

Найдем определитель матрицы A:

Найдем матрицу  обратную к матрице А, для этого составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов определителя матрицы А и транспонируем ее:

  

  

  

  

Полученную матрицу делим на определитель исходной матрицы:

Решением  исходной системы уравнений будет  матрица-столбец  , найденная как произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов:

Таким образом: .

2. Составим  расширенную матрицу системы,  в которую входят коэффициенты  при переменной и свободные  члены:

Определитель  главной матрицы системы уравнений  не равен нулю, следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение.

Разделим 1-ю  строку на

Вычтем из 2-ой строки 1-ю строку, умноженную на :

Вычтем из 3-й строки строку 1, умноженную на

Разделим 2-ю  строку на

Вычтем из 3-й строки 2-ю строку, умноженную на

Вычтем из 1-й строки 3-ю строку ,умноженную на

Вычтем из 1-й строки 2-ю строку, умноженную на

Т.о. решение  системы следующее:

3. Путем элементарных  преобразований расширенную матрицу  приведем к каноническому виду:

x	y	z	B
3 1 1	4 2 0	3 1 2	9 5 3
1 0 1	4/3 2/3 0	1 0 2	3 2
1 0 0	4/3 1	1 0 1	3 3
1 0 0	4/3 1	1 0 1	3 3
1 0 0	4/3 1	0 0 1	5 3
1 0 0	0 1	0 0 1	1 3

 

Т.о. решение  системы следующее:

Задание 3.

Решить  систему линейных уравнений методом  Гаусса:

 

Решение:

Определитель  главной матрицы системы уравнений  не равен нулю, следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение.

Приравниваем  к 1, для этого разделим всю 1-ю строку на

Теперь  обнулим 1-ый столбец. Для этого из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, умноженную на =0

Из 3-ей строки вычли 1-ю строку, умноженную на

Приравниваем  к 1, для этого разделим 2-ю строку на

Обнулим 2-й столбец, для этого из 1-й  строки вычтем 2-ю строку, умноженную на

Из 3-й  строки вычтем 2-ю строку, умноженную на

Приравниваем  к 1: разделим всю 3-ю строку на

Из 2-й  строки вычтем 3-ю строку, умноженную на

Следовательно:

Проверим:

 

Все равенства  являются верными.

 

 

Тема 3. Векторная алгебра

Задание 4.

Найти косинус  угла между векторами  и , если  А (6; 8; -4), если  В(4; 1; 10) и С(9; 3; 6).

Решение:

По координатам  концов найдем эти векторы:

,

.

Отсюда  ,

.

Найдем скалярное  произведение

.

Применяя  теперь формулу, получим

,

.

 

Ответ:

 

 

Задание 5. (5 баллов)

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если А(3;2;5);

В(4;-7;2); С(2;-4;-6) и D(7;2;7)

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся  в точках А, В, С и D равен:

. Вычислим объем тетраэдра  АВСD:

С другой стороны:

В основании тетраэдра  лежит треугольник ABC, S которого определяется как модуль векторного произведения векторов

Векторное произведение векторов равно:

Тогда площадь основания  равна:

Следовательно:

Ответ: ;

 

 

 

Тема 4: Уравнение плоскости.

Даны  точки М₁ (2; 5; 4) и М₂ (1; 3; 4).

1. Составить  уравнение плоскости, проходящей  через точку М₁ перпендикулярно вектору .

2. Найти отрезки,  отсекаемые данной плоскостью  на осях координат. Начертить  эту плоскость.

Решение:

1. Найдем  координаты  , если

Составим  уравнение плоскости, проходящей через  точку М₁ перпендикулярно вектору :

2. Уравнение  плоскости в отрезках выглядит  следующим образом:

      z

               x

       42

   y       -42/8

 

 

 

Задание 6.

Написать  уравнение плоскости, проходящей через  точку М₁ и перпендикулярно вектору , если

Решение:

Найдем координаты вектора нормали  к плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (6;8;3) перпендикулярно вектору =(А; В; С), где А, В, С – координаты вектора нормали:

В нашем случае А=5, В=4, С=-4, соответственно уравнение плоскости примет следующий вид:

Ответ:

Задание 7.

Вычислить угол между плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если A₁=6; B₁=8; C₁=3; D₁=4; A₂=-4; B₂=10; C₂=9; D₂=0

Решение:

Угол между двумя плоскостями  определяются по формуле:

 

Тогда получаем:

Тогда угол между плоскостями равен:

Ответ:

Тема 6. Пределы функций.

Вычислить пределы:

а)  b)  c)

Решение:

a)

b)

c)

 

Тема 8. Исследование функций.

Исследовать функцию  и построить ее график:

Решение:

1.Найдем  область определения функции:

ООФ:

2. Т.к.  функция нечетная

  , то ее можно исследовать только на промежутке . Функция не периодичная.

3. Вертикальные асимптота может быть в точке x=1

При .

При .

Т.о. прямая x=1 является вертикальной асимптотой.

4. Горизонтальных  и наклонных асимптот нет, т.к.

.

5. Экстремумы  функции и интервалы монотонности:

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную  первого порядка:

Найдем  значение х, при которых производная образуется в ноль или не существует:

Т.о. критической  точкой является точка x=0.

 

    ─            + x

  0 

6. Интервалы  выпуклости и точки перегиба:

Для этого  найдем производную функции второго  порядка

Числитель может быть и положительный, и  отрицательный  y"≥0 и функция будет вогнута вверх.

7. Допустим  x=0, тогда

(0; 0)

8. Построим  график функции

         y

 

 

      1

         -1   0      1     x

   -1