Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Октября 2015 в 15:02, реферат
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических
уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из
важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми –
одна из главных причин расширения понятия числа.
Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно.
Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится
вводить отрицательные числа и нуль.
что под этим символом подразумевается. Например, используя запись
, следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара
комплексных чисел i и –i, или одно, то какое
именно.
Уравнения высших степеней
Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо
сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:
an×Zn + an–1×Zn–1 +...+ a1×Z1 + a0 = 0 (9)
Где an,..., a0 – заданные комплексные числа.
В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое
уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень.
Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.
Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9
всегда может быть представлена в виде произведения:
,
Где Z1, Z2,..., ZK – некоторые различные комплексные числа,
а a1,a2,...,ak – натуральные числа, причем:
a1 + a2 + ... + ak = n
Отсюда следует, что числа Z1, Z2,..., ZK
являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1
является корнем кратности a1, Z2 – корнем
кратности a2 и так далее.
Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность,
то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n
имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.
Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о
существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если
корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений
третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше
четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не
мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми
коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни
любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями
свободного члена.
Докажем эту теорему:
Пусть Z = k – целый корень уравнения
an×Zn + an–1×Zn–1 +...+ a1×Z1 + a0 = 0
с целыми коэффициентами. Тогда
an×kn + an–1×kn–1 +...+ a1×k1 + a0 = 0
a0 = – k(an×kn–1 + an–1×kn–2 +...+ a1)
Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k –
делитель числа a0.
9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С
Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число,
Z – неизвестное.
Это уравнение:
1. имеет один корень, если a = 0.
2. имеет два действительных корня Z1,2= , если a > 0.
3. не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.