Комбинаторика

     P_n (n₁, n₂, ...) = n! / (n₁! n₂! ... ),  

     где n₁ + n₂ + ... = n.

     При решении задач комбинаторики  используют следующие правила:

Правило суммы.

     Если  некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

     Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

     В частности, если два события А  и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

     Суммой  нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

     Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий  известны. Как найти вероятность  того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

     Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

     Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

     Доказательство:

     Введем  обозначения: n — общее число возможных  элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

     Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

     Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n. 

     Приняв  во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

     Р (А + В) = Р (А) + Р (В). 

     С л е д с т  в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

     Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n).

     Доказательство:

     Рассмотрим  три события: А, В и С. Так как  рассматриваемые события попарно  несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно  наступлению одного из двух событий, A + В и С, поэтому в силу указанной теоремы

     Р ( А + В + С) = Р [(А + В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р (А) + Р (В) + Р (С). 

     Для произвольного числа попарно  несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

     Полная  группа событий.

     Теорема Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:

     Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

     Доказательство:

     Так как появление одного из событий  полной группы достоверно, а вероятность  достоверного события равна единице, то

     Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1.     (*)

     Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему  сложения:

     Р (А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (А_n).    (**)  

     Сравнивая (*) и (**), получим 

     Р (А₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1. 

     Противоположные события.

     Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

     

     Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

      .

     Доказательство  базируется на том, что противоположные  события образуют полную группу, а  сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему  о полной группе событий).

     З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

     p + q = l

     З а м е ч а н и е 2. При  решении задач на отыскание вероятности  события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

     

.

Правило произведения.

     Если  объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

     Произведение  событий. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.

     Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

     Условная  вероятность. Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

     Условной  вероятностью Р_A (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

     Исходя  из классического определения вероятности, формулу Р_A (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0 можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

     Условная  вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна

     Р_A (В) = Р (АВ) / Р (А)    (Р(A)>0). 

     Рассмотрим  два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и Р_A (В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

     Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

     Р (АВ) = Р (А) Р_A (В).     (*)

     Доказательство:

     По  определению условной вероятности,

     Р_A (B) = Р (АВ) / Р (A). 

     Отсюда

     Р (АВ) = Р (А) Р_A (В).

     З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим

     Р (ВА) = Р (В) Р_B (А),

     или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

     Р(АВ) = Р (В) Р_B (А).     (**) 

     Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

     Р (А) Р_A (В) = Р (В) Р_B (А).     (***)

     С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

     

     где

     

     является  вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили. В частности, для трех событий

     Р (AВС) = Р (А) Р_A (В) Р_AB (С). 

     Заметим, что порядок, в котором расположены  события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

     Пусть вероятность события В не зависит  от появления события А.

     Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

     Р_A (В) = Р (В). (*) 

     Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего  параграфа, получим

     Р (A) Р (В) = Р (В) Р_B (A). 

     Отсюда

     Р_B (A) = Р (A), 

     т. е. условная вероятность события A в  предположении что наступило  событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В.

     Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события  В; это означает, что   с в о й с т в о   н е з а в и с и м о с т и   с о б ы т и й   в з а и м н о.

     Для независимых событий теорема  умножения Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) имеет вид

     Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**) 

     т. е. вероятность совместного появления  двух независимых событий равна  произведению вероятностей этих событий.

     Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий.

     Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

     На  практике о независимости событий  заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

     З а м е ч а н и е 1. Если события А и В независимы, то независимы также события

     

     Действительно,

     

     Следовательно,

     

     Отсюда

     

     т. е. события А и В независимы. 
Независимость событий

     

     является  следствием доказанного утверждения.

     Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

     Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

     Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A₁, A₂, А₃, независимы в совокупности, то независимы события A₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и A₃; А₁ и A₂A₃, A₂ и A₁A₃, А₃ и A₁A₂. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

     Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.