Комбинаторика элементтерін есептер шығаруда қолдану

Комбинаторика элементтерін есептер шығаруда қолдану.

 

Нұрмақ Әйнел

7 «Ә» сынып

М. Жұмабаев атындағы №39 мектеп-гимназиясы,

Қарағанды қаласы

Жетекшісі Ашимова Ж. О.

 

Зерттеу жұмысының мақсаты:

 

1. Комбинаторика элементтерін зерттеу;

 

2. Логикалық есептерді шешуде комбинаторикалық әдістерді меңгерту. Факториалды есептей білу, есептер шығаруда қолдана білу.

 

Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін нәтижелерін және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келеді.

Мысалы: әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп беруге болады?

Футболдан әлем біріншілігінде жартылай финалға шыққан 4 команда арасында алтын, күміс, қола медальдары неше түрлі тәсілмен иемделінеді және т.с.с.

Бұл есептерде заттардың өзара орналасуының немесе іс-әрекеттің барлық мүмкін комбинациялары  қарастырылады. Сондықтан мұндай есептерді комбинаторикалық есептер деп атайды.

Комбинаторлық әдістер физика, химия, биология, экономика, тағы басқа ғылымда қолдануға болады. Ал комбинаторикалық есептерді шешуде үйретуде математика саласын комбинаторика деп атайды.

 Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен формулалар бар.

A жиынының элементтері санын n(A) арқылы белгілейді. Мынадай заңдылық орындалады:

 

Қосу ережесі.

Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін

                                              (1)

теңдігі орындалады.

Ал бұдан               (2)

математикалық индукция принципі бойынша бірнеше қосылғыштарға жазып шығуға болады.

        (3)

 

Есеп.  Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол турниріне, 10-ы баскетбол турниріне және 8-і волейбол ойынынан жарысқа қатысқан. Мұнда 6 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол жарысына, 5 оқушы әрі футбол, әрі волейбол жарысына, 4 оқушы әрі баскетбол, әрі волейбол турниріне, ал 3 оқушы барлық үш ойыннан жарысқа қатысқан. Сынып оқушыларының нешеуі осы турнирлердің бірде – біреуіне қатыспаған?

 

Талдау:

Эйлер – Венн диаграммасын қолданайық.

А – футболға қатысқан оқушылар жиыны,

В – баскетбол,

С – волейбол,

U – сыныптағы барлық оқушылар жиыны болсын. Есеп шарты бойынша:

 

 

                                    

  

(3) формула бойынша

 Сыныптағы оқушылардың жарыстың қандай да бір түріне қатысқандарын біліп алдық. Онда сыныпта оқушы жарыстың бірде – бір түріне қатыспаған.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Көбейту ережесі.

Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін барлық , қос элементтер саны осы жиындар элементтері сандарының көбейтіндісіне тең.

Есеп.

Асханада І-ші тамақтың екі түрін , ІІ тамақтың үш түрін және екі түрлі десерт ұсынады. Асхана қанша түрлі түскі тамақ ұсынуға болады?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бұл тәсіл графиктік жолмен кескінделген. Бұл схеманы талдау ағашы деп атайды.

.                .                .

.

Сонымен асханашы 12 түрлі түскі тамақ ұсынады.

 

 

 

 

 

 

 

Алмастырулар.

Х жиыны n элементтен құралған жиын болсын. Онда Х жиынының элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері қайталанбайтын әрбір шеруді n – нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп аталады. Оны арқылы белгілейді.

 немесе 

Есеп.  4 оқушыны 7 орындыққа неше түрлі тәсілмен отырғызып шығуға болады?

Талдау:  Мұнда Х жиыны 7 элементтен тұрады. Онда бізге қажетті сан барлық 7-ден 4 бойынша қайталанбайтын орналастырулар санына тең. Өйткені бірнеше оқушы бір орындыққа отырмайды деп есептейміз.

Сонда .

Есеп.   Бес адамды кезекке неше түрлі тәсілмен тұрғызуға болады?

Талдау:  Бізге қажетті сан 5 элементтен алынған барлық алмастырулар санына тең. .

Есеп.  Үш таңбалы саннан қанша әртүрлі цифрдан құрастырылған үш таңбалы сан алуға болады?

.

 

Терулер.

n элементі бар Х жиынының  әрбір k элементі ішкі жиынын n –  нен k бойынша алынған қайталанбайтын  терулер деп атайды.   

 арқылы белгілейді.

.

Есеп.   Шахмат турниріне 12 ойыншы қатысты және әрбір шахматшы өзгелермен бір-бір ойыннан ойнайды. Турнирде барлығы неше партия ойналды?

 

Талдау:  Әрбір партияны өткізуге екі ойыншы қатысады. Онда барлық өткізілген партиялар саны 12-ден 2 бойынша алынған терулер санына тең.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды:

 

1. Болжам:

Оқушылардың даму деңгейі оларды математикалық зерттеу іс-әрекетіне тартуға мүмкіндік береді және жоғары деңгейге көтереді.

 

Күтілетін нәтиже:

Оқушылар жетістіктері екі бағытта күтіледі:

1. Сандар теориясының кейбір сұрақтарын терең зерттеу, факториялды есептей білу.
2. Олимпиадалық дайындық. Жұмыстың бұл түрі олимпиадаларға қатысатын оқушыларға қызық және пайдалы, себебі конкурстық есептерді шығару үшін мектеп бағдарламасы негізінде білім жетіспейді.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Әдебиеттер:

 

1. Виленкин Н. Я., и др. Математика, 4. М., 1978
2. Виленкин Н. Я., и др. Математика, 5. М., 1978
3. Математика в школе, 1973, №1
4. Математика в школе, 1975, №4
5. В. А. Гусев, и др. Внеклассная работа по математике. М., Просвещение, 1977