Комбинаторика и примеры вычисления вероятности

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ  РЕСПУБЛИКИ

     АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 

     Самостоятельная работа №2  

     « Комбинаторика и  примеры вычисления вероятности » 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Факультет: Автоматика и КТ

Группа: 650 R

Студент: Керимли В.

Преподаватель: Гусейнов Н. 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Элементы  комбинаторики 

  Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

  Многие  комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

  Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент ) можно выбрать способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.

  Этот  принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов.

  Пример  1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторятся?

  Решение. Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 . 4 . 3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ... ) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 . 5 . 5 = 125. (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ... )

  Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ), можно выбрать способами.

  Это правило распространяется на любое  конечное число объектов.

  Пример 2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

  Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14·13 = 182 способами, а двух юношей - 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212 .

  Решение вероятностных (и не только их) задач  часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу элементов из различных элементов рассматриваемого множества.

  Существуют  две схемы выбора элементов из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге. Мы рассмотрим только первую схему.

  Пусть дано множество, состоящее из различных элементов.

  Размещениями из элементов по элементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

  Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

                                                                          (1)

  или

                                      , где , .             (2)

  Для составления размещения надо выбрать элементов из множества с элементами и упорядочить их, т. е. заполнить мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать способами, т. е. на первое место можно поместить любой из элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов способами. Для выбора третьего элемента имеется способа, четвертого - способа, и, наконец, для последнего -го элемента - способов. Таким образом, по правилу умножения, существует способов выбора элементов из данных элементов, т. е. .

  Пример 3. Составить различные размещения по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

  Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: , , , , , . Согласно формуле (1) их число: = 3·2 = 6 .

  Перестановками  из элементов называются размещения из элементов по элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.

  Число перестановок из элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

                                               

               (3)

  Пример 4. Составить различные перестановки из элементов множества ; подсчитать их число.

  Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (3) имеем: = 3! = 1·2·3 = 6 .

  Сочетаниями из элементов по элементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

  Число сочетаний из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

                                                              .              (4)

  С помощью сочетаний можно записать формулу бинома Ньютона:

   .

  Числа , являются биномиальными коэффициентами и для них выполняется следующее условие .

  Пример 5. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

  Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: ,  ,  . Их число: .