Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары

Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары 

Көптеген кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдарын білу арқылы олардың  анықталған интервалда мән қабылдау ықтималдығын болжауға болады. Үлестіру заңдары өте көп. Біз тек қана экономикалық талдауда жиі кездесетін үлестіру заңдарын қарастырамыз. Оларға жататын: қалыпты үлестіру заңы,   (хи - квадрат), Стьюдент, Фишер үлестірулері. 
 
 
Қалыпты үлестіру. Үлестіру тығыздығы  
 
 (11) 
түрінде берілген кездейсоқ шама   қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама деп аталады. Қалыпты үлестірудің үлестіру функциясы 
 
 (12) 
 
 

Қалыпты үлестірілген кездейсоқ  шаманың тығыздығы және үлестіру функциясының графиктері 4 және 5 суреттерде көрсетілген. 
 
Сурет 4 
 
 
 
 
Сурет 5 
1) және (12) формулаларынан қалыпты үлестіру  және σ параметрлерімен анықталады және олардан тәуелді 
 
Егер  қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама  болса, онда келесі символмен  ~  ,  ~   деп жазуға болады. Қалыпты үлестірудің маңызды дербес жағдайы  , стандартты қалыпты үлестіру деп аталады. Стандартты қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама  ~   деп белгіленеді.  
 (13) 
Көп жағдайда практикалық есептеулерде мәндері кестемен берілген Лаплас функциясы қолданылады. 
 (14) 
Бұл кестені кез келген қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалар  үшін келесі ықтималдықтарды есептеуге пайдалануға болады 
 
 (15) 
Егер   
 
 (хи - квадрат) үлестіруі.  - тәуелсіз қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалар. және   сәйкесінше математикалық үміттер, орташа квадраттық ауытқулар, яғни   Онда  , тәуелсіз қалыпты үлестірілген стандартты кездейсоқ шамалар болады,  . Кездейсоқ шама , n еркіндік дәрежелі хи – квадрат үлестіруі   болады, егер  
 
 (16) 
 
Еркіндік дәрежесін   деп белгілейміз,   қосындылар құрамына кіретін кездейсоқ шамалар саны, ал  кездейсоқ шамаларды байланыстыратын сызықтық теңдеулер саны.   ( хи – квадрат) кездейсоқ шаманың еркіндік дәрежесі   санымен анықталады. Олай болса,   Хи – квадрат үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы: 
 
Егер   және   тәуелсіз   үлестірілген еркіндік дәрежелері  және   кездейсоқ шамалар болса  , онда олардың қосындысы да   еркіндік дәрежесі  -ға тең  үлестірілген кездейсоқ шама болады.   үлестіруі статистикалық болжамдарды тексеруде интервалдық бағаларды табу үшін қолданылады.  
 
Стьюдент үлестіруі. Айталық   кездейсоқ шама, ал V- еркіндік дәрежесі  ,  - дан тәуелсіз  үлестірілген кездейсоқ шама болсын. Онда 
 
 (17) 
 
 еркіндік дәрежелі Стьюдент үлестіруі ( -үлестіруі ) деп аталады, яғни ( ~ ). (17) формуладан Стьюдент үлестіруі тек қана бір параметр, яғни  еркіндік дәрежесімен анықталатынын көруге болады. Стьюдент үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы: 
 
     
 
Фишер үлестіруі.  еркіндік дәрежелері   және   тәуелсіз   үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, онда шама 
 
 (18) 
 
еркіндік дәрежелері   және   Фишер үлестіруі деп аталады. Олай болса,   Фишер үлестіруі екі параметрмен анықталады, яғни   және   еркіндік дәрежелерімен. Стьюдент үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы: 
 
     
 
 және  нің үлкен мәндерінде Фишер үлестіруі қалыпты үлестіруге ұқсайды. Фишер үлестіруі дисперсиялық және регрессиялық талдауда статистикалық болжамдарды тексеруге пайдаланылады. 
 
2.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы 
 
Көптеген экономикалық көрсеткіштер бірнеше сандармен анықталады, яғни көпөлшемді кездейсоқ шамалар болып табылады. Экономикалық көрсеткіштердің бірқатар мәндері басқа көрсеткіштердің мәндерін анықтайды.  
Сондықтан экономикалық талдаудың басты міндеттерінің бірі- экономикалық көрсеткіштерді анықтау және олардың арасындағы байланысты көрсету. (нақты кездейсоқ шамалар арасында). 
Мысалы: кіріс пен тұтыну арасындағы; тауар сұранымы және тауар бағасы арасындағы; инфляция деңгейі және жұмыссыздық деңгейі арасындағы; жалпы ұлттық өнім және тіршілік деңгейі арасындағы байланыстар. 
Дербес жағдайда екі кездейсоқ шама арасындағы тәуелділікті орнату үшін екіөлшемді ықтималдықтар қарастырылады.  және   кездейсоқ шамалары дискретті үлестіру кестесімен берілсе

 
Мұнда  – бір уақытта   кездейсоқ шама  , ал  кездейсоқ шама   мәндерін қабылдау ықтималдығы, яғни  қос мәнінің пайда болу ықтималдығы 
 
 
тің кез келген мәнінде   мән қабылдау ықтималдығы  жатық жолының ықтималдықтарының қосындысына тең 
 
 
тің кез-келген мәнінде  мән қабылдау ықтималдығы   тік жолының ықтималдықтарының қосындысына тең   
 
 
және  кездейсоқ шамаларының сәйкесінше математикалық үміттері: 
   
Сол сияқты  және  кездейсоқ шамаларының дисперсиялары: 
 
Үздіксіз екіөлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және ықтималдықтар тығыздығы: 
 
Біріккен үлестіру функциясы    
Біріккен ықтималдық тығыздығы   
Корреляция коэффициентінің қасиеттері: 
 
1)   
 
2)   
 
3)   
 
4) егер  және  кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда   
5) егер   болса,  (яғни  және  кездейсоқ шамаларының арасында сызықтық тәуелділік бар). Егер  және  кездейсоқ шамалары тәуелді болса, онда

Таңдама.

Таңдаманың сандық сипаттамалары:

1.Бас жиынтық және таңдама. 
2. Вариациялық қатар. 
3. Полигон және гистограмма. 
4. Таңдаманың сандық сипаттамалары. 
5. Таңдама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі. 
1.Бас жиынтық және таңдама. 
Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау тәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдістіне негізделген. 
Математикалық статистиканың мынадай есептерін: 
1. Жүргізілген тәжірибенің немесе бақылаудың нәтижесінде, алынған статистикалық мағлұматтарға жинау жән оларды топқа бөлу әдістерін көрсету. 
2. Зерттеудің мақсатына байланысты статистикалық мағлұматтарға анализ жасау әдістерін іздеп табу. 
      Математикалық статистиканың міндеті ғылыми және трактикалық тұжырымдар жасау үшін сиатистикалық мағлұматтарды жинау. 
Кейде қажетті белгісі бойынша , заттар жиынтығындағы әрбір затты түгелдей тексеруге тура ккеледі. Іс жүзінде бұлай түглдей тексеру өте сирек зерттейді. Таңдап алынған жиынтық немесе жай ғана таңдамалы деп, кездейсоқ таңдап алынған заттардың жиынын айтады. 
Бас жиынтық деп, таңдамалы жасалатын заттардың жиынтығын айтады. 
Көлем жиынтығы деп, осы жинақтың ішіндегі заттардың санын айтады. Мысалы, егер 1000 бөлшектен тексеру ғғшін 100 бөлшек бөліп алынса, онда бас жиыниықтың көлемі N=1000, ал таңдамалы жиынтығының көлемі n=100. 
2. Вариациялық қатар.

     Бақылау нәтижесінде қарастырылып отырған белгінің жиынтықтағы, әрдір бірлікке қатысты сандық немесе сапалық өзгерісі туралы мәлімет аламыз. Статистикалық бақылаудың мақсаты сол жиынтықта белгінің өзгеруін (вариасиясын) шешу. Ал белгінің мүмкін мәндерін статистикада варианта деп атайды. Варианталар сандық (дискретті немесе үздіксіз) болатын мүмкіндігін көрдік. 
       Тәжірибе жүргізілгенде белгі мәндері қалай болса солай орналасуы мүмкін. Мысалы, тексерілген 100 вал диаметрі см-мен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұны ықшамдап кесте түрінде жазсақ, мынадайболады: 
x12,13,14,15,16,Σ 
ni 3 2 2 1 2 10

Бұл кестенің жоғарғы жолын  белгі мәндері (варианталары), ал төменгі  жолында әрбір мәннің неше рет  кездескені келтірілген. Осылай реттелген кестені вариациялық қатар деп атайды. 
Әдетте белгіні (вариантаны) кездейсоқ шамалар сияқты х, у, z, …., yk, z1, z2, …., zk арқылы белгілейміз. Варианта қайталап отыруы мүмкін. Ол қайталаулардың абсалютті санын (жиілігін) n1, n2… nk деп белгілесек, онда вариациялық қатардың жалпы түрін мына кесте көрсетеді. 
2 – кесте 
x х1 х2 … xk Σ 
ni n1 n2 … nk n

Мұнда, хі – варианталары сәйкес; 
ni – жиіліктер; 
— вариация қатардың көлемі. 
Іс жүзінде варианта абсалютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік түрінде де беріледі. Бұл жағдайда 2 кесте былай жазылады: 
3 – кесте 
хі х1 х2 … xk Σ 
wi w1 w2 … wk 1 
Мұндағы, — салыстырмалы жиілік 
ал, 
— салыстырмалы жиіліктердің қосындысына тең бірге 
Егер вариациа үздіксіз өзгеретін болса, онда вариациалық қатарды интервалдар бойынша құруға тура келеді. 
Жалпы түрде интервалдық қатар мынадай болады: 
4 – кесте. Жиіліктің интервалдық түрі. 
x (x1;x2) (x2;x3) (x3;x4) … (xm;xm+1) 
ni n1 n2 n3 … nm

немесе 
5 – кесте. Салыстырмалы жиіліктің интервалдық түрі. 
x (x1;x2) (x2;x3) (x3;x4) … (xm;xm+1) 
wi w1 w2 w3 … wm

Мұндағы (x1;x2), (x2;x3), (x3;x4) …, (xm;xm+1) аралықтары белгінің мүмкін мәндері  жататын интервалды к1= x2-x1; к2= x3-x2, кm= xm+1-xm – айырымдары интервалды сипаттайды. 
3. Полигон және гистограмма. 
Жиілік полигоны деп (xі; ni), (x2; n2), …, (xк; nк), нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Полигон салу үшін абцисса осіне xі – варианттары, ал оларға сәйкес жиіліктері ордината осіне салынады. (xі; ni) нүктелерін кесінділермен қоссақ жиілік полигонын аламыз (1 сурет). Салыстырмалы жиілік полигоны деп (x1; w1), (x2; w2), …, (xк; wк) нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Салыстырмалы жиілік полигонын салу үшін, абцисса осіне xі – варианттары, ал оларға сәйкес wi – салыстырмалы жиіліктер ордината осіне салынады. (xі; wі) – нүктелерін кесінділермен қоссақ салыстырмалы жиілік полигонын аламыз. 
Жиілік гистограммасы деп табандарының ұзындықтары һ – қа тең дербес интервалдан, ал биіктері қатынасындай болатын тік төртбұрыштардан құрылған сатылы фигураны айтады. 
Жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне дербес интервалды, ал олардың жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан ара қашықтықтары — қа тең кесінділер жүргіземіз. Мұндағы — жиілік тығыздығы. і – ші тік төртбұрыштың — ге тең. Сонымен жиілік гистограммасының ауданы барлық жиіліктердің қосындысына тең, яғни таңдау көлеміне тең. 
Салыстырмалы жиілік гистограммасы деп, табндарының ұзындықтары һ – қа тең интервалдар, ал биіктіктері (салыстырмалы жиілік тығыздығы) қатынвсына тең тік төртбұрыштардан құрылған фигураны айтады. 
Салыстырмалы жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне интервалдарды, ал оның жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан қашықтықтары қатынасына тең кесінділерді саламыз. 
і – ші тік төртбұрыштың ауданы: 
— ге тең. 
Сонымен салыстырмалы жиілік гистограммасының ауданы, барлық салыстырмалы жиіліктер қосындысына, яғни бірге тең. 
Мысал. Берілген 3 – ші суретке сәйкес көлемі n-100 жиілік үлестірімінің гистограммасы бейнеленген. 
Ұзындығы һ=5 
интервалдар Интервалдардың вариант жиіліктерінің қосындысы жиілік

Статистикалық үлестірімнің сандық сипаттамаларын және оларды есептеу  формулаларын қарастырайық.

1) Арифметикалық таңдамалы  орта. Белгінің (Х) арифметикалық  ортасы деп варианталардың жалпы  санына (таңдаманың көлеміне) қатынасын  айтады, яғни (егер барлық варианталар  әртүрлі болса):

Мұнда, 
хі – варианталар (белгі мәндері): 
— таңдама көлемі. 
Егер таңдама вариациялық қатармен беоілсе, онда

x x1 x2 … xк 
ni n1 n2 … nк

Мұнда, 
nі – варианталар cалмағы (жиілігі); 
— таңдамалы көлемі; 
хі – варианталар. 
2) Мода (М0). Берілген вариациялық қатардың ең жиі кездесетін вариантасын мода деп атайды. Басқаша айтқанда, ең жоғары жиілікке сәйкес варианта мәні мода болады. 
3) Медиана (Ме). Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана деп атаймыз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса x1,x2, …, xm-1, ,xm ,xm+1, …, ,x2n-1, онда бұл үйлестіру үшін Ме медианасы хm вариантасына тең, яғни Ме =хm, өйткені Ме =хm – нен төмен де жоғары да белгінің саны бірдей m-1 мәндері орналасқан. 
Ал варианта саны жұп болса, x1,x2, …, xm-1, ,xm ,xm+1, …, ,x2m, онда бұл жиынтықты тең екіге бөлетін медиана мәні (xm ,xm+1) аралығында болады. Бұл жағдайда медиана Ме – нің мәні осы екі вариантаның арифметикалық ортасы болады, яғни

4) Вариация құрамы. Ауытқу  сипаттамаларының ішіндегі ең  қарапайым – вариация құрамы. Мұның мәні R белгінің максимум  және минимум мәнінің айырымына тең:

5) Дисперсия және орташа  квадраттық ауытқу. 
Анықтама. 
Кездейсоқ шамамен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия (шашырау дейді). 
Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(х) арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша:

Белгі мәндерінің арифметикалық  ортадан ауытқу квадраттары қосындысының арифметикалық ортасын таңдамалы дисперсия немесе дисперсия дейміз. 
— өлшенген түрі, немесе 
— жай түрі 
6) Түзетілген дисперсия

7) Орташа квадраттық ауытқу

8) Вариация коэффициенті

5. Тандама орта және  дисперсияны есептеу көбейту  әдісі. 
а) Шарттық варианталар. 
Делік, таңдама варианттарлары өспелі ретінде орналасқан, яғни вариациялық қатар түрінде. 
Айырымы h – қа тең арифметикалық прогрессияны құрастыратын варианталарды бірдей қашықтықтағы варианталар деп атайды.

формуламен анықталатын  вариантталарды шарттық варианта деп атайды. 
Мұндағы С – жалған ноль (санақтың жаңа бастамасы). 
Һ – қадам (екі көрші варианталардың айырмасы). 
Алғашқы варианталарды шарттық варианталарға ауыстыруы, ықшамдалған әдістер таңдамының жинақты сипаттамаларын есептеу үшін негізделген. 
б) Таңдамалы орта мен дисперсияны есептеу көбейтінді әдісін қарастырайық. 
Делік, таңдама бірдей қашықтықтағы варианталар және оларға сәйкес жиіліктер түрінде берілсін. Бұл жағдайда таңдамалы ортаны және дисперсияны көбейту әдісі формулаларымен табу қолайлы. 
Яғни, — таңдамалы орта 
— таңдамалы дисперсия 
Мұндағы һ – қадам 
С – жалған ноль (ең үлкен жиілігі бар варианта). 
— бірінші ретті шарттық сәт.

— екінші ретті шарттық  сәт. 
Көбейтінді әдісін қолдауын бір мысалда қарастырайық. 
Мысал. Көлемі n=100 берілген үлестірімнің таңдамалы орта мен дисперсиясын табыңыз. 
Варианта 
хі 12 14 16 18 20 22 
Жиілік 
ni 5 15 50 16 10 4 
Шешуі. Бірінші есептеу кестені құрамыз; Ол үшін: 
1) Варианталарды бірінші бағанға жазамыз. 
2) Жиіліктерді екінші бағанға жазамыз, жиілік қосындысын (n=100) екінші бағанның төменгі торшасына жазамыз. 
3) Жалған ноль (С) ретінде С=16 вариантаны аламыз, оның ең үлкен жиілігі бар (С ретінде бағаның ортасында тұрған әлде қандай вариантаны алуға болады). Жалған ноль тұрған жолдың үшінші бағанның торшасына 0 жазамыз, оның үстінен тізбектеп – 1, -2 – жазамыз, ал о – дың астына 1,2,3 жазамыз. 
4) Жиіліктердің шарттық варианталарға көбейтінділерін төртінші бағанға жазамыз, ал олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз. 
хі ni

12 5 -2 -10 20 5 1 
14 15 -1 -15 15 0 0 
16 50 0 0 0 50 1 
18 16 1 16 16 64 4 
20 10 2 20 40 90 9 
22 4 3 12 36 64 16

=23

Бақылау: 
273=127+2*23+100 
273=127+146 
273=273 
5) Жиілікті шарттық варианталардың квадраттарына көбейтіп шыққан көбейтінділерді бесінші бағанға жазамыз, шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастыр- 
ады. 
6)Шарттық ықтималдылықтарды 1 санына үлкейтіп және олардың квадраттарын сәйкес жиеліктерге көбейтіп көбейтіндіні алтыншы бақылау бағанға жазамыз; барлық шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз. 
Қорытындыда 1-ші кесте шығады. 
Бақылау үшін мына теңбе-теңдікті қолданамыз:

Бақылау: ; =127+2*23+100 
Бақылау қосындылардың дәл келу есептеуінің дұрыс болу куәлігі. Бірінші және екінші ретті шарттық сәттерді есептейміз.

Қадамын табайық һ=14 – 12=2 
Жалған ноль С=16 еске алып, таңдамалы орта мен дисперсияны есептейміз.

Сенімділік интервалды анықтайық ( — ; + ); мұндағы – бағаны мына формуламен анықтаймыз = , ал t параметрді қатынасын табамыз. сенімділігі бар жиынтықтың белгісіз математикалық күтімін а бағалау үшін _ сенімділік интервалды табамыз.