“Кездейсоқ оқиғалар

                                     Туынды

            Көп жағдайдафункция мәнін білумен қатар аргументтің терісіне байланысты функцияның өзгеру жылдамдығын білу де маңызды болады.

функциясын қарастырайық (1-сурет). Осы функция кесіндісіне анықталған және үзіліссіз болсын.Кез келген    үшін айырма х аргументтің нүктесіндегі мүшесі деп аталады да,    деп белгіленеді.Сонымен ,

  =

 айырма  функциясының нүктесіндегі  мүшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен ,

     

 

 

 

2-суретте  көрсетілген  және функцияларын қарастырайық. Аргумент мәні   шамаға өзгергенде функциялардың мәндері де белгілі бір шамаға өзгеореді. Суретте функцияның мәні функцияға қарағанда көп өзгереді(өседі)

Аргумент мәні бірдей шамаға өзгерген кезде функциялардың өзгерістерін салыстыру үшін функцияның өзгермелі жылдамдығы ұғымын енгізеді. Оны орташа жылдамдық дейді функция өзгерісінің аргумент өзгерісіне өатынасымен анықтайды.

Орташа жыл =

Орташа жылдамдық нүктесіне ғана қатысты қарастырылмайды, аргумент өзгерісінен де байланысты болады. Функция жылдамдығын аргумент өзгерісінен байланысын қарастыру үшін функцияның нүктедегі жылдамдығын қарастырады. Функцияның нүктедегі жылдамдығын анықтау үшін -ті аргументке шексіз жақындатады, немесе . Осы кезде үзіліссіз функция өзгерісі нолге жақындайды, яғни . Нолге жақындайтын функция өзгерісінің нолге шексіз жақындайтын аргумент өзгерісіне қатынасы функцияның нүктедегі өзгеріс жылдамдығын береді.Функцияның нүктедегі осы өзгеріс жылдамдығын функциясының нүктедегі туындысы деп атайды:

.

Сонымен, функция туындысының анықтамасын берейік,

Анықтама. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесін қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі функция туындысы деп аталады. Әдетте онынемесе деп белгілейді :

 

Функцияның туындысын алуды - функцияны дифференциалдау дейді.

) интервалдың әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер функциясы нүктеде дифференциалданса, онда функция үзіліссіз болады.

Бірақ осыған кері тұжырым дұрыс бола бермейді. Мысалы , фукциясы нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да , егер бар болса , туындыны мына формуламен табар едік:

.

Ал нүктеде

 

Болғандықтан  қатынастың шегі болмайды. Шек болмаса туындысы да жоқ.

Туындының геометриялық мағынасы функциясы нүктесінде дифференциалдансын. Осы функцияның қатынасы бұрыштың тангенсіне тең  жағдайда

 жағдайда  қима функция графигіне * нүктесінде жүргізілген жанамаға айналады. Ал жанаманың (түзудің) бұрыштық коэффициенті, яғни

 

 

 

 

Сонда функция графигіне нүктесінде жүргізілген жанама теңдеуі мынадай түрде жазылады :

 

Дифференциалдау ережелері . және функциялардың әрқайсысы берілген  нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы (айырымы), көбейтіндісі және қатынасы сол нүктеде дифференциалданады ,және мына формулалар дұрыс болады :

5. күрделі функция туындысы:

.

6. функциясына кері функция туындысы :

 

7. Айқын емес түрде берілген функция , туындысы:

 

8. Дәрежелі – көрсеткіштік функция туындысы. Алдымен берілген теңдеудің екі жағын логарифмдейік,

 

Екі жағынан туынды аламыз,

 

Сонымен,

 

 

9)Жоғарғы  ретті туынды. туындыны функцияның 1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2-ретті туындысы деп аталады да , деп белгіленеді.

Сонымен,

 

Осылайша 3-ретті ,т.с.с n-ретті туындыларды анықтауға болады,

 

Туындының экономикалық мағнасы

Айталық функциясы өндірілген өнім x көлемінен оған кеткен шығын арасындағы байланысты сипаттасын.

Егер өндіріс көлемін -тен -ке арттырсақ, яғни  бірлікке , онда жұмсалған шығын да бірлікке көбейеді.

Ал   қатынас өндіріс көлемін   бірлікке өзгерткендегі орташа шығынды береді. жағдайдағы    қатынастың шегі, яғни өндірістің шектік шығынын береді.

 шаманы аз деп есептесек  , формуланы мынадай түрде жазыуға болады .

 

осыдан    немесе

Егер өте үлкен шама деп , ал  шаманы аз деп, айталық есептессек, онда немесе Сонымен , өндірстің шектік шығыны өндіріс көлемін      бірлікке өзгерткендегі үстеме өнім өндіруге кеткен қосымша шығынға тең болады.

Мысалы,   функциясы қандай да бір уақыт мезетінде x жұмысшының y өндірілген өнім көлемі арасындағы өнім көлемі арасындағы байланысты сипаттасын. Айталық , фирма тағы бір адамды жұмысқа қабылдады. Онда

 

шама жаңадан келген жұмысшының өндірген өнім көлемі .

Егер С-өнім бірлігі (бағасы), ал - фирманың жұмысшыға уақыт мезетінде төлейтін жалақысы болса, онда болған кезде фирмаға тағы бір жұмысшыныалуға болады, себебі жұмысшынының фирмаға түсіретін пайдасы одан алатын жалақысынан көп. Осы ара қатынасты экономиканың алатын заңы дейді.

 функциясы қандай да бір  уақыт мезетінде y өндірілген өнім  көлемінің x адам еңбегінің тәуелділігін  сипаттаса , онда  шаманы x нүктесіндегі шектік еңбек өнімділігі болады.

Функция иілгіштігі(Эластичность функции)

 функциясы y шаманың x шамадан тәуелділігін білдірсін. Тәуелсіз аргумент шамаға өзгергенде тәуелді айналымы да шамаға өзгереді. Мынадай сұрақ туындайды , y тәуелді айалымфының x аргумент өзгерісіне деген әсерін – иілгіштігін қалай өлшеу керек. Бір айнымалының екінші айнымалыға әсерін сиппаттайтын шама ретінде туындыны алуға болады. Ол функцияның  аргумент өзгерісіне қатысты өзгеріс жылдамдығын сиппаттайды . Бірақ экономикада бұл қолайсыздау, себебі ол шамаларды немен өлшейтінімізге байланысты. Мысалы, қандай да бір затқа деген    q сұраныс функкциясының оның p  бағасынан тәуелділігін алсақ, онда туынды мәні сұраныс немен өлшенетіндігіне байланысты. Егер кг өлшенсе , туынды кг/тг, ал центермен өлшенсе ц/тг болады. Баға бірдей болғанымен, туынды мәндері әртүрлі. Сондықтан экономикада бір айнымалының екінші айнымалы өзгерісіне деген иілгіштігін өрнектейтін өлшем бірліксіз шама енгізіледі. Ондай шама ретінде айнымалылардың абсолюттік өзгерістерінің   қатынасы  емес , олардың салыстырмалы немесе процнеттік өзгерістерінің қатынасын алады, яғни

 

Анықтама. y айнымалының x айнымалы өзгерісінен иілгіштігі немесе функциясының иілгіштігі (эластикалығы) деп олардың салыстырмалы немесе проценттік өзгерістерінің қатынасының шегін айтамыз, яғни

 

 

 функция иілгіштігі  аргумент -ке өзгерегенде ( функциясы қанша процентке өзгеретітін сипаттайды.

ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАР КЕСТЕСІ . ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИЯЛЫ

 дифференциялданатын функция болсын. Сонда

1
2
3
4
5
6
7	(
8
9
10
11
12
13
14
15

 

Бұл кестедегі формулалардың дұрыстығын туынды анықтамасы мен дифференциялдау ережесін қолдананып тексеруге болады.

Мысалы , формуласын дәләлдейік. функциясының өсімшесі шаманы -ке бөліп туынды анықтамасын қолданайық:

 

мұнда екінші тамаша салдарын қолдандық. Формуланы анықтама бойынша дәлелдедік.

Функция дифференциалы ұғымымен танысайық. Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу    формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады :

 

 

мұндағы    -   ақырсыз аз шама , яғни

Түрлендіріейік,

                                           

 

мұндағы -  функцция өсімшесінің сызықты бөлігі деп аталады және ол өсімшеге пропорциянал . Ал шама екі ақарсыз аздың көбейтіндісі ретінде өсімшеге қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады.

Анықтама . Функция  өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді, Сонымен ,

 

Мысал ретінде функцияның дифференциалын табайық:

 

 

Демек , аргумент  дифференциалы оның өсімшесіне тең екен . Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз:

 

Егер аргумет өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамен тең болады, яғни түрлендірейік ,

Осыдан ,

 

осы формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым аз болса , соғұрлым формула дәлірек болады.