Кері матрица және лоардын шешу жолдары

Талдықорған экономиқалық-технологиялық колледжі

 

 

Кері  матрица және лоардын шешу жолдары

Орындаған: 213 топ  студенті Шериязов Ерлан Тексерген: Жанторина Б.К.

 

Матрица және оның түрлері, қасиеттері, матрицаның рангісі.Анықтауыштар және оның қасиеттері, алгебралық толықтауыш, минор, кері матрица.

 

 Анықтама. m – жолдарының және n – қатарларының қиылысындағы элементтерден тұратын төртбұрышты сан кестесін матрица деп атайды.

 

Матрицаны А, В, С және т.б. белгілейді.

 

 

Мысалы:  - бұл екі жолдан және үш қатардан тұратын матрица. aij – i – жолының және j – қатарының қиылысында тұратын матрицаның элементі. Мысалы: 3-санды бірінші жол және екінші қатардың қиылысында тұратын элемент.

 

 

 

Анықтама: Егер жолдардың және қатарлардың сандары тең болса, онда матрица квадраты деп аталады.

 

- квадратты матрица.

 

 

 

2                                      1

  2 – бас диагоналі.   3    - қосымша диагоналі.

 

 

 

Егер квадратты матрицада  бас диагоналінде бір сандары  тұрып, ал басқа элементтері ноль сандары болса, онда ол бірлік матрицасы  деп аталады және она Е деп  белгілейді.

 

Мысалы,                 

 

 

 

Матрицалармен жасалған амалдар.

 

 

 

1. Матрицалардың санға көбейтіндісі.

 

Әрбір матрицаны санға  көбейтуге  болады. Ол үшін матрицаның әр элементін сол санға көбейту  керек.

 

Мысалы              

 

1.      Матрицалардың қосылуы (алуы).

Әрбір тең екі матрицаны  қосуға әлде алуға болады.

 

                                               

 

2.      Матрицалардың көбейтіндісі

Екі матрица берілген:    болғанда ғана   болады.

 

Мысалы,        

Аударылған  матрица 

жолдармен қатарлардың орындарымен ауыстырылған матрицаны аудару деп аталады. Олар АТ не А/ деп белгіленеді.

 

Мысал        

 

 

 

Матрицаның  анықтауышы

 

 

 

Анықтама   (а11 а22 – а12 а21) саны квадратты матрицаның анықтауышы деп аталады.

 

Анықтауыш   белгіленеді.

 

Мысал          

 

 

 

Анықтама кейбір анықтауыштың элементтерінің, жол мен қатарды өшіргеннен кейін пайда болатын анықтауыш минор деп аталады.

 

 

 

Мәселен, үшінші тәртіптегі анықтауыш  қарастырылады:

 

 

Ендеше, а11 элементінің миноры келесі анықтауыш болады

 

Мысал      

 

 

 

а22 элементінің минорын табу керек

 

 

 

Анықтама Анықтауыштың кейбір элементтерінің алгебралық қосымшасы (-1)i+j формулаға көбейтілген осы элементтің миноры деп аталады. Яғни i-жол, j-қатар, осылардың қиылысында тұрған элемент.

 

Ол  арқылы белгіленеді.

 

Мысал а22 элементінің жоғарыдағы мысалдың алгебралық қосымшасын табамыз.

 

 

Кез келген өлшемді матрицаның анықтауышы кейбір жолдың /қатардың/ элементтерімен олардың алгебралық қосымшаларының көбейтіндісінің суммасына тең.

 

Мысалы i-жолын белгілейміз. Соның элементтерің алгебралық қосымшаларына көбейтіп, қосамыз, яғни

 

 

Мысал  /бірінші жолмен ыдыратып, топтиаймыз/= =

 

 

 

Анықтама үшінші тәртіптегі анықтауышы үшбұрыш ережесі бойынша табуға болады.

 

Келесі схемасы бар:

 

 

Мысал  

 

Анықтауыштың  қасиеттері:

 

 

 

1.      жолдарды  қатарларға ауыстырғанда анықтауыш  өзгермейді, яғни транспозициялған матрицаның анықтауышы берілген матрицаның анықтауышына тең.

 

2.      Анықтауыштың  екі жолын (қатарын) орнымен  ауыстыру оны (-1)-ге көбейтуге  теңбе-тең.

 

3.      Егерде  анықтауыш екі бірдей жолға  (қатарға) ие болса, онда ол  нольге тең.

 

4.      Егерде жол (қатар) элементтерінің жалпы көбейткіші болса, онда көбейткішті анықтауыш белгісінің алдына қоюға болады.

 

5.      Егерде  бір жолдың (қатардың) сәйкес келетін  элементтерін қоссақ, анықтауыш  өзгермейді.

Кері матрица

 

 

 

А-ны кез келген матрица  деп атайық, сонда В матрицасы кері матрица деп аталады, егерде А*В=В*А=Е, осында Е – бірлік матрица А-1 деп кері матрицаны белгілейміз.

 

Тек қана квадратты матрица  кері матрицаға ие болады. Кері матрицаны  табу үшін келесі алгоритмді қолдануға  болады:

 

·         Егерде матрица квадратты болса, онда 2 пункке көшеміз, керісінше болса, кері матрица шықпайды.

 

·         А матрицаның анықтауышын шығарамыз, егерде ол нольге тең болса, онда кері матрица шықпайды, керісінше болса, онда 3 пункке көшеміз.

 

·         Матрицаның әрбір элементінің орнына оның алгебралық қосымшасын қоямыз және оны транспозициялаймыз.

 

·         Шыққан матрицаның әрбір элементі берілген матрицаның анықтауышына бөлінеді

 

 

Мысал            А-1 - табу керек

 

 

 

 

Тексеру

 

 

 

 

 

                                                                                       

 

 

 

Талдықорған

2013 жыл