Касательная к графику

Определения и понятия.

Определение.

Углом наклона  прямой y=kx+b называют угол  , отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y=kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).

На рисунке положительное  направление оси абсцисс показано горизонтальной зеленой стрелочкой, положительное направление отсчета  угла изображено зеленой дугой, прямая показана синей линией, а угол наклона прямой - красной дугой.

Определение.

Угловым коэффициентом прямой y=kx+b называют числовой коэффициент k.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть,  .

• Угол наклона прямой равен нулю, когда прямая параллельна оси абсцисс. В этом случае нулю равен и угловой коэффициент, так как тангенс нуля есть ноль. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид y=b.
• Когда угол наклона прямой y=kx+b является острым (  или  ), то угловой коэффициент k является положительным числом (так как тангенс острого угла   принимает положительные значения  ) и указывает на возрастание графика прямой.
• В случае, когда   прямая располагается перпендикулярно оси абсцисс (параллельно оси ординат) и задается равенством x=c, где c - некоторое действительное число.
• Когда угол наклона прямой y=kx+b является тупым (  или  ), то угловой коэффициент k является отрицательным числом и указывает на убывание графика прямой.

Определение.

Прямую AB, проведенную через две точки графика функции y=f(x), называют секущей. Другими словами, секущая – это прямая, проходящая через две точки графика функции.

На рисунке секущая  прямая AB изображена синей линией, график функции y=f(x) - черной кривой, угол наклона секущей   - красной дугой.

Если принимать  во внимание, что угловой коэффициент  прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс  угла в прямоугольном треугольнике ABC есть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств  , где   - абсциссы точек А и В,   - соответствующие значения функции.

То есть, угловой коэффициент секущей определяется равенством   или  , а уравнение секущей записывается в виде   или   (при необходимости обращайтесь к разделу уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку).

Секущая прямая разбивает  график функции на три части: слева  от точки А, от А до В и справа от точки В, хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.

На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки А и В различны), но они совпадают и задаются одним уравнением.

Нам ни разу не встречались  разговоры о секущей прямой для прямой. Но все же, если отталкиваться от определения, то прямая и ее секущая прямая совпадают.

В некоторых случаях  секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек  пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0, имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.

Определение.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке   называют прямую, проходящую через точку  , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к  .

Поясним это определение  на примере. Покажем, что прямая y = x+1 является касательной к графику функции   в точке (1; 2). Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания (1; 2). Черным цветом показан график функции  , касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.

Каждый последующий  рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).

Хорошо видно, что  вблизи точки касания график функции   практически сливается с касательной прямой y=x+1.

А сейчас перейдем к более значимому определению  касательной.

Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точку В бесконечно приближать к точке А.

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей   (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной   (изображен красной сплошной дугой).

Определение.

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при  .

Вот теперь можно  переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.

К началу страницы

Геометрический  смысл производной функции в  точке.

Рассмотрим секущую АВ графика функции y=f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты   и  , где   - приращение аргумента. Обозначим через   приращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВС имеем  . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то  .

Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y=f(x) в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  , обозначается  .

Следовательно,  , где   - угловой коэффициент касательной.

Таким образом, существование  производной функции y=f(x) в точке   эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания  , причемугловой коэффициент касательной равен значению производной в точке  , то есть  .

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

К началу страницы

Уравнение касательной прямой.

Для записи уравнения  любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент  и точку, через которую она  проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой  коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной  в точке  . То есть, из пункта геометрический смысл производной функции в точке мы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке   имеет вид  .

Мы подразумеваем, что существует конечное значение производной  , в противном случае касательная прямая либо вертикальна (если   и  ), либо не существует (если  ).

В зависимости от углового коэффициента  , касательная может быть параллельна оси абсцисс ( ), параллельна оси ординат (  в этом случае уравнение касательной будет иметь вид  ), возрастать ( ) или убывать ( ).

Самое время привести несколько примеров для пояснения.

Пример.

Составить уравнение  касательной к графику функции   в точке (-1;-3) и определить угол наклона.

Решение.

Функция определена для всех действительных чисел (при  необходимости обращайтесь к  статье область определения функции). Так как (-1;-3) – точка касания, то  .

Находим производную (для этого может пригодиться  материал статьидифференцирование функции, нахождение производной) и вычисляем ее значение в точке  : 

Так как значение производной в точке касания  есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона, то  .

Следовательно, угол наклона касательной равен  , а уравнение касательной прямой имеет вид 

Графическая иллюстрация.

Черным цветом показан  график исходной функции, касательная  прямая изображена синей линией, точка касания - красной точкой. Рисунок справа представляет собой увеличенную область, обозначенную красным пунктирным квадратом на рисунке слева.

Пример.

Выяснить, существует ли касательная к графику функции   в точке (1; 1), если да, то составить ее уравнение и определить угол ее наклона.

Решение.

Областью определения  функции является все множество  действительных чисел.

Находим производную: 

При   производная не определена, но   и  , следовательно, в точке (1;1) существует вертикальная касательная, ее уравнение имеет вид x = 1, а угол наклона равен  .

Графическая иллюстрация.

Пример.

Найти все точки  графика функции  , в которых: 
a) касательная не существует; b) касательная параллельна оси абсцисс; c) касательная параллельна прямой  .

Решение.

Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого  рассмотрим два промежутка   и  : 

Продифференцируем функцию: 

При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны: 

Таким образом, вычислив значение функции при x=-2, мы можем дать ответ на пункта):  , касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2).

b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как  , то нам нужно найти все значения х, при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox.

При   решаем уравнение  , а при   - уравнение  : 

Осталось вычислить  соответствующие значения функции: 

Поэтому,   - искомые точки графика функции.

Графическая иллюстрация.

График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные  точки, в которых касательные  параллельны оси абсцисс.

c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье параллельные прямые, параллельность прямых). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение  . Таким образом, при   решаем уравнение  , а при   - уравнение  .

Дискриминант первого  уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней: 

Второе уравнение  имеет два действительных корня: 

Находим соответствующие  значения функции: 

В точках   касательные к графику функции параллельны прямой  .

Графическая иллюстрация.

График функции  изображен черной линией, красной  линией показан график прямой  , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках  .

Для тригонометрических функций в силу их периодичности, может существовать бесконечно много  касательных прямых, имеющих один угол наклона (одинаковый угловой коэффициент).

Пример.

Написать уравнения  всех касательных к графику функции  , которые перпендикулярны прямой  .

Решение.

Чтобы составить  уравнение касательной к графику  функции нам достаточно знать  ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

Угловой коэффициент  касательных   найдем из условия перпендикулярности прямых: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, то есть  . Так как по условию угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен  , то  .

Приступим к нахождению координат точек касания. Для  начала найдем абсциссы, затем вычислим соответствующие значения функции  – это будут ординаты точек  касания.

При описании геометрического  смысла производной функции в  точке   мы отметили, что  . Из этого равенства найдем абсциссы точек касания. 

Мы пришли к тригонометрическому  уравнению. Просим обратить на него внимание, так как позже мы его используем при вычислении ординат точек  касания. Решаем его (при затруднениях обращайтесь к разделу решение тригонометрических уравнений): 

Абсциссы точек  касания найдены, вычислим соответствующие  ординаты (здесь используем равенство, на которое мы просили обратить внимание чуть выше): 

Таким образом,  - все точки касания. Следовательно, искомые уравнения касательных имеют вид: 

Графическая иллюстрация.

На рисунке черной кривой показан график исходной функции  на отрезке [-10;10], синими линиями изображены касательные прямые. Хорошо видно, что они перпендикулярны красной прямой  . Точки касания отмечены красными точками.

К началу страницы

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

До этого момента  мы занимались нахождением уравнений  касательных к графикам однозначных  функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.

Касательная к окружности.

Окружность с  центром в точке   и радиусом R задается равенством  .

Запишем это равенство  в виде объединения двух функций: 

Здесь первая функция  соответствует верхней полуокружности, вторая - нижней.

Таким образом, чтобы  составить уравнение касательной  к окружности в точке  , принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции   (или  ) в указанной точке.

Легко показать, что  в точках окружности с координатами   и  касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями   и  соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках   и   - параллельны оси ординат и имеют уравнения   и   соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).