Элементы векторной алгебры

  Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

          Одесский национальный политехнический университет

           Кафедра высшей математики и математических систем

 

 

                                                     

 

                                                       Реферат

                                                         на тему:

                                 " Элементы векторной алгебры  "

 

 

 

 

 

 

                                                                         Подготовил студент

                                                                         группы ОМ - 131

                                                                         Буцык Вита Александровна

                                                                         Проверил: доцент   Жарова О. В.

 

 

 

 

                                                      Одесса

                                                     2013 год

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторная алгебра - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. 
Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b соединенные. Операция сложения векторов имеет свойства: 
 
a+b=b+a (коммутативность) 
(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность) 
a + 0=a (наличие нулевого элемента ) 
a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента), 
 
где 0 - нулевой вектор, -a является вектор, противоположный вектора а. Разницей a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. 
Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число имеет свойства: 
(*(a+b)= (*a+(*b (дистрибутивность по сложение векторов) 
((+u)*a=(*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел) 
l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность) 
1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число  образует векторное пространство (линейное пространство). 
В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы a, b, ... , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,...,gиз которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: 
 
aa+bb+...gc=0. (1) 
 
Для линейной зависимости двух векторов необходимое и достаточное их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходимое и достаточное их компланарность. Если один из векторов a, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,из называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,...,gравны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов. 
Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерные пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единый образ представляется в виде суммы: 
 
a=a1e1+a2e2+a3e3. 
 
Числа a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора в данном базисе и пишут a={,,}. Два вектора a={,,} и b={,,} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллінеарності векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1=lb1,a2=lb2,a3=lb3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} и c={c1,c2,c3} является равенство : 
 
| a1 a2 a3 | 
| b1 b2 b3| = 0 
| c1 c2 c3 | 
 
Линейные операции над векторами сводятся к линейных операций над координатами. Координаты суммы векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны суммам соответствующих координат: a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты произведению вектора а на число l равны произведениям координат а на l : 
lа= {lа1,la2, la3}. 
Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними: 
 
(а, b) = | а |*| b | cosj. 
 
За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение думают равным нулю. Скалярное произведение имеет свойства: 
 
a=a1e1+a2e2+a3e3. 
 
Числа a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.

(a, b)= (b, а) (коммутативность), 
(a,b+c)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность по сложение векторов), 
l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число), 
(a,b)=0, только если а=0 или (и) b=0 или a^b. 
 
Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются прямоугольными декартовыми координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из взаимно перпендикулярных единичных векторов (ортів) i, j, k ( ортонормированний базис). Скалярное произведение векторов : 
a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} 
заданных в ортонормированном базисе, исчисляется по формуле: 
 
(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3 
 
Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} 
может быть вычислен по формуле: где и 
Косинусы углов вектора a={a1,a2,a3} с векторами базиса i, j, k називают. направляющими косинусами вектора а: 
, , . 
 
Направляющие косинусы имеют следующее свойство: 
cos2a+cos2b+cos2g=1 
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, что задает позитивное направление на прямой. Проекцией Др. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равна скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции имеют свойства: 
 
Др. е (a+b)= Др. е a+ Др. е b (аддитивность), 
Др. е a = Др. е la (однородность). 
 
Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, обусловленную соответствующим вектором базиса. 
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарних векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены в соответствии большой, не согнутых указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. 
 
 
b b 
c c 
a a 

 

   

 

                                                                                                                         

 

 

                                                                                    

 

 

 

 

правило левой руки                                                                                      правило правой руки 
 
Ниже тройку векторов i,j,k стоит считать правой . 
Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i до j). Псевдоскалярним произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a до k: 
 
aVb=| a || b |*sinj 
 
Псевдоскалярний произведение нулевых векторов думают равным нулю. Псевдоскалярний произведение имеет свойства: 
 
aVb=-bVa (антикоммутативность), 
a (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность по сложение векторов), 
l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число), aVb=0, только если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарные. 
 
Если в ортонормированном базисе векторы но и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то : 
 
aVb=a1b1-a2b2. 
 
 
Векторная алгебра и некоторые ее применения. 
Векторы. 
Определение 1. Вектором называют величину, которая характеризуется не только своим числовым значением (длиной), но и направлением. 
Векторы обозначают или а, b, c. 
При обозначении вектора двумя буквами (например, ) первая буква указывает точку начала вектора, а вторая - точку его конца. В экономике векторы часто обозначают одной большой буквой. 
Длину (модуль) вектора обозначают , . 
Геометрически вектор изображают как направленный отрезок (удивляйся малий.1) 
 
 
 
 

 

 

 

Малий.1 
 
Изображены на этом рисунке векторы имеют длину: 
если единица масштаба . 
Нулевым вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. 
Такой вектор обозначают , его длина равна нулю, а направление - произвольный. 
Равными называют векторы, которые имеют одинаковые длины и направления: . 
Коллинеарным называют векторы, которые расположены на одной прямой или параллельных прямых (удивляйся малий.2) 
 
 
 
 

 

 

 

 

Рис.2 
Все изображенные на рисунке 2 векторы - коллинеарны. 
Противоположными называют коллинеарны противоположно направленные векторы одинаковой длины. 
Вектор, противоположный вектора обозначают . 
Ортом вектора называют вектор 0 длина которого равна единице, а направление совпадает с , то есть = 0. Компланарними называют векторы, лежать в одной плоскости. В экономических исследованиях n упорядоченных параметров рассматривают как вектор n мерного пространства Еп. 
Матрица-строка и матрица-столбец содержит элементы упорядочены, поэтому их можно рассматривать как векторы пространства соответствующего измерения. 
Например, есть Е5 есть Е4 
Элементы вектора-строки и вектора-столбца называют координатами вектора. Смысл такого названия объясним ниже, после определения проекций вектора на координатной оси. 
 
1.1. Некоторые экономические примеры. 
В главе 4 части 5 приведены примеры применения векторов к задачам микроэкономики. 
Так, использовались вектор-строка стоимости V = (v1, v2, v3, v4), компоненты которого - стоимости различного сырья, топлива, рабочей человеко-часа, и вектор-столбец потребностей других отраслей в продукции цехов 1, 2, 3. 
Сейчас ознакомимся с другими примерами применения векторов. 
Производительная функция. При анализе закономерностей производства используется производительная функция, которая, по сути, является соотношением между использованным в производстве ресурсами и выпущенной продукцией. 
Пусть в некотором производственном процессе является n производственных ресурсов. Количество i-го ресурса, используемого за промежуток времени t, обозначим xi. Тогда производственные ресурсы - это вектор Х = (х1, х2, ... хп). 
Пусть предприятие выпускает m различных изделий. Количество j изделия позначемо уи. Тогда выпуск всех изделий будет вектор Y = ( y1, y2,..., ym)... Пусть - вектор параметров производства (например, различные виды транспортных или других расходов). Производительная функция связывает векторы Х ресурсов, выпуска Y и параметров , т.е. 
 
Производительная функция задается аналитически или таблично. 
Производительную функцию, развязанную относительно Y, т.е. вида 
 
называют функцией выпуска, а развязанную относительно вектора Х, то есть вида 
 
называют функцией производственных затрат. 
Понятно, что эти функции в конкретных случаях (когда указано законе и ) используют правила действий с векторами. 
Математические модели экономических задач 
Даже простейшие линейные статистические экономические модели описываются с использованием векторов. 
Для исследования динамических моделей различных процессов состояние вивчаємої экономической системы в момент часа t описывается с помощью вектора из n-мерного пространства, а управление процессом в той самый момент часы описывается с помощью вектора с m мерного пространства. 
Таким образом, в динамических моделях используются векторы n и m измеримых пространств, координаты которых зависеть от времени t. 
 
1.3. Координаты векторов 
Сначала напомним понятие числовой оси и систем координат. Числовой осью называют прямую, на которой определены: 
1) направление ((); 
2) начало координат (точка 0); 
3) отрезок, который принимают за единицу масштаба. 
Две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчета (точка 0) называют прямоугольной декартовой системой координат на плоскости (в двухмерном пространстве Е2). 
Три взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчета (точки 0) называют прямоугольной декартовой системой координат в пространстве ( в трехмерном пространстве Е3). 
На Рисунке 3 изображены: 
а) прямоугольная декартова система координат на плоскости; 
b) прямоугольная декартова система координат в пространстве.

a) b) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3. Ось 0x называют осью абсцисс; 0у - ось ординат; 0z - ось аппликат. Орт оси 0х обозначают , орт оси 0у - вектор , орт оси 0z - вектор . 
Упорядоченная пара чисел (х,у), что соответствует точке М плоскости х0у, называется прямоугольными декартовыми координатами точки М, это обозначают М(х,у). 
Упорядоченная тройка чисел (х,у,z), что соответствует точке М пространства 0zух, называется координатами точки М декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, это обозначают М(х,у,z). 
Заметим, что существуют другие системы координат на плоскости и в пространстве. 
Дадим понятие проекции вектора на ось. Пусть задач вектор и ось l. Из точек А и В опускаем перпендикуляры на ось l. Получим точки А1 и В1 - проекции точек А и В. 
Определение 2. Проекции вектора на ось называется длина вектора , взятая со знаком “+”, если направление совпадает с направлением оси и со знаком “-“, если противоположные направления

 

 

 

 

 

(см. Рис.4). 
Обозначают: ін1 . 
Определение 3. Угол между двумя векторами (или между вектором и осью) называют наименьший угол между направлениями при условии, что векторы сведены к общему начала (дев. Малий.4). 
 
 
 
а) b) 
Малий.4. 
Найдем ін1 : 
В случае а) имеем: ін1 = 
В случае b) имеем: 
пр1 = 
Таким образом, проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью. 
Определение 4. Координатами называются проекции вектора на оси координат. 
Пусть вектор имеет координаты ах, ау, аz то есть = (ах, ау, аz) и образует с осями координат гуляй тогда 
ах = | | , ау = | | , аz = | | , 
, называют направляющими косінусами вектора . Из предыдущих формул имеем: 
 
 
Рассмотрим вектор , где М1(х1,y1) - начало вектора, М2(х2,y2) - конец вектора (дів.Малий.5). в этом случае 
 
то есть координаты вектора - это упорядоченная пара чисел (х2 - х1; y2 - y1). 
Аналогично получаем, что координатами вектора в пространстве будет упорядоченная тройка чисел (х2 - х1; y2 - y1; z2 - z1). 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

Рис.5 
Итак, можно сформулировать правило: 
Координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора. 
Например, вектор , начало которого находится в точке М1(2,-3,0), конец - в точке М2(1,1,2), имеет координаты 
= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

Замечания. Вектор ( где точка 0 - начало координат) называют радиусом-вектором точки А и обозначают . Координаты вектора совпадают с координатами точки А. 
По аналогии с векторами = (ах, ау) с Е2 и вектор-строку и вектор-столбец, которые содержат n элементов, рассматривают как вектора из n-мерного пространства Эп, а их элементы называют координатами вектора. 
Например, ,