Элементы линейной алгебры

ФГОУ ВПО Костромская  ГСХА

кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Типовой расчет №3

«Элементы линейной алгебры»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         выполнила

                                                                                 студентка 2 курса,222 гр.

экономического факультета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кострома 2009

 

4 вариант

1.

Найти матрицу обратную данной, результат  проверить, вычеслить произведение данной и обратной матрицы.

1) Найдем определитель матрицы А

Определитель матрицы А не равен  нулю, значит матрица имеет обратную.

 

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы, составим из нее матрицу и протранспонируем ее.

 

 

 

 

 

 

 

3) Найдем обратную матрицу по формуле:

 

 

4) Сделаем проверку: вычеслим произведение данной и обратной матрицы

 

 

                             

 

 

 

 

Обратная  матрица найдена верно.

 

2.

Решить систему линейных уравнений  тремя способами: 1) по формуле Крамера, 2) методом Гаоса, 3) матричным методом

 

1)

Найдем  определитель системы:

Определитель  не равен нулю следовательно система  совместна и имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера:

; ;

Найдем вспомогательный определитель:

 

Тогда:

2)

Выпишем расширенную матрицу-систему:

Пришли к системе треугольного вида. Она совместна и имеет  единственное решение. Найдем это решение:

(1; 2; -2) – решение уравнения.

3)

Выпишем матрицу-систему, матрицу-столбец  неизвестных и матрицу-столбец свободных членов:

 

               

Запишем систему в матричном  виде:

А*Х=В

Найдем определитель матрицы А:

Определитель матрицы А не равен нулю, значит матрица имеет обратную.

Найдем обратную матрицу по формуле:

 

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы, составим из нее матрицу и протранспонируем ее.

 

Найдем решение системы, т. е. Х:

 

Х= *

3.

Убедиться, что система имеет  единственное решение, вычеслив главный  определитель системы, а затем решить ее методом Гаоса.

Найдем определитель системы:

Определитель не равен нулю следовательно  система совместна и имеет  единственное решение.

Выпишем расширенную матрицу-систему:

 

 

4.

Исследовать систему на совместность, вычеслив ранг матрицы-системы и ранг расширенной матрицы, а затем решить ее если она совместна.

 

r(B)=r(A)=2

Ранг матрицы-системы равен рангу  расширенной матрицы, значит система совместна.

(1; 0,5) – решение системы.