Элементарная алгебра

 Первым сочинением, появившимся  в Европе после продолжительного  пробела со времен Диофанта, считается  трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (арабскими) цифрами, и с алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем

 

сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Первым известным печатным трактатом об алгебре является «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita», написанное итальянцем Лукасом дэ Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г. И второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась алгебра в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой и второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной алгебры – общность даваемых ею решений – еще совершенно отсутствует в начале XVI века.

 Алгебру можно грубо  разделить на следующие категории:

- Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций  с вещественными числами, где  символами обозначаются постоянные  и переменные, а также правила  преобразования математических  выражений и уравнений с использованием этих символов.

- Общая алгебра, иногда  называемая современной алгеброй  или абстрактной алгеброй, где  алгебраические структуры, такие  как группы, кольца и поля аксиоматизируются  и изучаются.

- Линейная алгебра, в  которой изучаются свойства векторных  пространств.

- Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических  структур (считается подразделом  общей алгебры).

- Алгебраическая теория  чисел изучает свойства чисел  в различных алгебраических системах.

 

 

- Алгебраическая геометрия  применяет достижения алгебры  для решения проблем геометрии.

- Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной  алгебры используются для изучения  вопросов комбинаторики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основные понятия

В алгебре принято записывать математические выражения (формулы) в самом общем виде, заменяя конкретные числа на буквенные символы, благодаря чему при решении однотипных задач достигается максимальная общность результата. Основным содержанием алгебры являются правила тождественных преобразований формул, необходимые для решения уравнений, анализа зависимостей, оптимизации изучаемой системы и других практических задач.

Кроме букв и чисел, в формулах элементарной алгебры используются арифметические операции: (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и элементарные функции (логарифм, тригонометрические функции). Две формулы, соединённые знаком равенства, называются уравнением.

Если символ операции между двумя выражениями не указан, подразумевается умножение:  ab=a⋅b;1,2 x=1,2⋅x;π(a²+b²)=π⋅(a²+b²)

Пример формулы: площадь треугольника S следующим образом выражается через длину одной из сторон a и длину высоты h, опущенной на сторону a: S=1/2ah

Простейшее алгебраическое выражение — это одночлен, состоящий из числового множителя, умноженного на один или более буквенных символов. Примеры:

1,2 x;                 2√abc²;                 x²w

Алгебраические суммы (то есть суммы и/или разности) одночленов называются многочленами. Выражения, имеющие вид частного от деления одного многочлена на другой, называется алгебраической дробью. Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями — разложение числителя и знаменателя на множители, приведение нескольких дробей к общему знаменателю, сокращение числителя и знаменателя на общий множитель и т. п..

 

 

3.Законы элементарной  алгебры

3.1Вычисление значения выражения

 

Порядок выполнения операций указывается скобками. Если скобок нет, то приоритетность, в порядке убывания, следующая.

1.Возведение в степень.

2.Вычисление функции.

3.Умножение и деление.

4.Сложение и вычитание.

Примеры:

abc=a(bc)

sinx²=sin(x²)

sina+b=(sina)+b

При вычислении значения выражения вместо буквенных символов подставляют их числовые значения, соответствующие конкретной задаче. Множество числовых значений, при которых выражение имеет смысл, называется областью допустимых значений этого выражения. Пример: для выражения  a+b/a−b область допустимых значений — все пары a,b, в которых a≠b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Свойства операций

 

1)Коммутативность (перестановочное свойство) сложения: a+b=b+a.

• Вычитание есть действие, обратное сложению.
• Вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b: a−b=a+(−b).

2)Коммутативность (перестановочное свойство) умножения: a⋅b=b⋅a

• Деление есть действие, обратное умножению.
• Деление на нуль невозможно.
• Деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:
• a/b=a(1/b).
• Ассоциативное (сочетательное) свойство сложения: (a+b)+c=a+(b+c).
• Ассоциативное (сочетательное) свойство умножения: (ab)c=a(bc).
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для умножения: c(a+b)=ca+cb.
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для возведения в степень: (ab)ᶜ=aᶜbᶜ.
• Сложение показателей степени: aᵇaᶜ=aᵇ±ᶜ
• Умножение показателей степени: (aᵇ)ᶜ=aᵇᶜ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3 Свойства равенства и другие законы

 

• Если a=b и b=c, то a=c (транзитивность равенства).
• a=a (рефлексивность).
• Если a=b, то b=a (симметричность).

 

Другие законы

• Если a=b и c=d, то a+c=b+d. (аддитивность равенства)
• Если a=b, то a+c=b+c для любого c
• Если a=b и c=d, то ac = bd. (мультипликативность равенства)
• Если a=b, то ac=bc для любого c
• Если значения двух символов совпадают, то вместо одного можно подставить другой (принцип подстановки).
• Если a>b и b>c, то a>c (транзитивность порядка).
• Если a>b, то a+c>b+c для любого c.
• Если a>b и c>0, то ac>bc.
• Если a>b и c<0, то ac<bc.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4 Некоторые алгебраические тождества

 

• (a+b)(a−b)=a²−b²
• (a+b)²=a²+2ab+b²;   (a−b)²=a²−2ab+b²
• (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;    (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
• a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²);     a³-b³=(a+b)(a²+ab+b²);     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5 Решение уравнений

 

Уравнение — это равенство вида:   f(x1,x2…)=g(x1,x2…)

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений — одна из главных задач алгебры и вообще математики, в ходе исторического развития науки были разработаны многочисленные методы (алгоритмы) для различных разновидностей этой задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Александров П.С.,  Маркушевич А.И.,  Хинчин А.Я. «Энциклопедия элементарной математики. Книга 2. Алгебра». М.-Л.:ГИТТЛ, 1951
2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003.
3. Державин С.С. «Элементарная алгебра» Гос. изд-во М. 1926
4. Завало С.Т. «Элементарная алгебра» Просвещение М. 1964
5. Новоселов С.И. «Специальный курс элементарной алгебры»  М.Высш.шк., 1962
6. Туманов С.И. «Элементарная алгебра» Госуд.Уч-Пед 2-е изд, М. 1962
7. http://fb.ru./article/116378/istoriya-vozniknoveniya-algebryi-i-ee-razvitiya
8. https://ru.wikipedia.org//wiki