Экономическая интерпретация производной

1.Экономическая  интерпретация производной

 
В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.  
 
Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин. 
 
Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. 
 
Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины. 
 
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а  х - количество продукции, тогда D 
x- прирост продукции, а D 
y - приращение издержек производства. 
 
В этом  случае производная   выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции  ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество. 
 
Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.). 
 
Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер. 
 
Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к  (n+1)-ой единице продукта. 
Она представляет собой первую производную от выручки:  . 
 
При этом R= PQ,         где R–выручка (revenue); P–цена (price). 
 
Таким образом   , Þ MR= P. 
 
Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену. 
 
Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской. 
 
Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А. Маршалла. 
 
Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.  
 
 В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах  х1,  x2,… хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности: 
 
U= U(х1, x2,… xn). 
 
Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных:  . Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага  i (i=1,2…n) 
 
В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров. 
 
Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution). 
 
Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y. 
 
Они определяются так:                   . 
 
Т.к. dy отрицательно, знак  "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля. 
 
Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия. 
 
Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне. 
 
Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление  C  и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода: 
 
Y= C(Y) + S(Y). 
 
Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления. 
 
Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:  . 
 
По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения.      Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal propensity to save):      . 
 
С увеличением доходов MPS увеличивается. 
 
Еще одним примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L – labor) при неизменной величине капитала: . 
 
Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то  , т.к. dY - результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда. 
 
Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда: . 
 
Если вложения осуществляются малыми порциями, то  . 
 
MPk - характеризует предельную производительность капитала. 
 
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции. 
 
Определение:  Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0: 
 
. 
 
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%. 
 
Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении) его цены P на 1%:          . 
 
Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене   показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):         . 
 
Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:         . 
 
Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.

2. Применение производной  в экономической теории.

 
Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. 
 
Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.  
 
Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода". 
 
То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если MC(Qo)=MR(Qo),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход. 
 
Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства. 
 
Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo). 
 
Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”. 
 
Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы.  Средние издержки AC(Q) определяются как  , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии  , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или  , т.е. MC(Q)=AC(Q). 
 
Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории. 
 
Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает". 
 
Иными словами, величина  , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x),выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх. 
 
Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U= U(x), где  х  - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения. 
3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

 
Задача 1.  
 
 Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. 
 
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:  
 
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200 
 
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90]. 
 
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке. 
 
f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320. 
 
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции. 

Задача 2.

 
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия. 
 
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума. 
 
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений. 
 
Задача 3. 
 
Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях. 
 
Зависимость спроса от цены описывается функцией  , 
 
Данная функция исследуется с помощью производной:   
 
Производная меньше нуля, если   P>=0. 

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее.

 
Задача 4. 
 
Выручка от реализации товара по цене p составляет:   
 
 (Денежных единиц), где  . Исследуем эту функцию с помощью производной. 
 
Производная этой функции:   положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения    , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной. 
 
 
 
 темп положительный               темп отрицательный  
 
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для  , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. 
 
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.

 
Вывод: 
 
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.  
 
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом , а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке  функция U(p) вогнута. В точке   график перегибается (см. на рисунке): 
 

Таким образом, можно сделать вывод, что производные часто используются при решении экономических задач. Взятая и раскрытая мною тема является актуальной.