Изготовление моделей тел вращения

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  образовательное

учреждение среднего профессионального образования

«Тольяттинский политехнический  техникум»

(ФГОУ СПО «ТПТ»)

 

 

 

 

 

 

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

   Тема: « изготовление моделей тел вращения:»

Дисциплина «Математика»

 

 

 

 

 

 

Выполнили:

Пшакина Д.А. и 

Блашенкова О.К.

студенты группы Гк-11

Принял преподаватель:

Лабгаева Э.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                Тольятти 2013

Содержание    

                                                                                  стр.

Введение…………………………………………………………………….3

1 Теоретическая  часть

1.1 …………………………………………………………………….…..….

1.2 ………………………………………………………………..…..……...

1.3…………………………………………………………………….….…..

2 Практическая часть

2.1 …………………………………………………………………….….….

2.2 …………………………………………………………………….….….

2.3……………………………………………………………………………

Заключение .…………………………………………………….....…….…

Литература и  источники информации....……………………….......….....

Приложение 1………………………….…………………………..……….

Приложение 2……………………………………………………..….….…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение:

 

 

Цель: целью нашей работы было глубже изучить тему и на основе полученных знаний ,создать собственный материал который в будущем можно было бы использовать на уроках по дисциплине «математика»

 

 

 

Задачи:

1. Найти информацию и просмотреть видео по данной теме
2. Изучить материал
3. На основе полученных знаний построить макеты тел вращения
4. Для большей продуктивности проделанной работы создать свой видео урок
5. Создать презентацию

 

 

Актуальность: Данная тема актуальна тем, что тела вращения являются частью окружающего нас мира. Они встречаются в архитектуре, скульптуре, наша специальность так же не является исключением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости

Примеры тел вращения 

1)Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза

2)Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности  цилиндра принимается площадь его  развертки: Sбок = 2πrh.

3)Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности  конуса принимается площадь ее развертки: Sбок = πrl Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r)

4)Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его ^[2]

 

1.Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой

   

               

                                                                                       

                                                              

Из  всех тел заданного объема шар  имеет наименьшую площадь поверхности. Из-за этого на космическом корабле, находящемся в состоянии невесомости  пролитая вода собирается в водяной  шар.

2.Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

                                   Для прокатки белья в Древней Греции женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «календер». Поэтому  все вытянутые тела с округлым сечением получили  название цилиндра.

 

3.Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание)

             Усеченный конус

 

Название этой фигуры пошло от греческого «конос», так греки называли еловую шишку.

4.Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

 

 Тороидальная поверхность впервые  была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

 

 

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа.

 

Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в  плоскости целиком по одну сторону  от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Объём тела, образуемого  при вращении фигуры, лежащей в  плоскости целиком по одну сторону  от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

 

Практическая часть.

 

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного  вращением фигуры, ограниченной линиями  ,   вокруг оси   .

 

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости   необходимо построить фигуру, ограниченную линиями  ,  , при этом не забываем, что уравнение   задаёт ось  .

Чертёж здесь довольно прост

 

 

 

 

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается  вокруг оси  . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси  .

 

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

 

 

В формуле перед интегралом обязательно  присутствует число  .

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция  … посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы   сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси  . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат:  , таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя  данную формулу: 

Ответ: 

В ответе нужно обязательно указать  размерность – кубические единицы  . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д.

 

  Пример 2

Вычислить объем тела, полученного  при вращении вокруг оси абсцисс  фигуры, ограниченной линиями  ,  ,   и 

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями  ,  ,  ,  , не забывая при этом, что уравнение   задает ось  :

Искомая фигура заштрихована синим  цветом. При её вращении вокруг оси   получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая  обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси   получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через  .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси  , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через  .

И, очевидно, разность объемов   – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:  

1) Фигура, обведенная красным цветом  ограничена сверху прямой  , поэтому: 

2) Фигура, обведенная зеленым цветом  ограничена сверху прямой  , поэтому: 

 

 

 

3) Объем искомого тела вращения: 

Ответ: 

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют  короче, примерно в таком духе: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

 

1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)

 

 

2.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

 

3.http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere_3d.png?uselang=ru

 

4. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cutting_cone.svg?uselang=ru

 

5. http://www.mathprofi.ru/obyem_tela_vrashenija.html