Исследование системы уравнений на совместность

Федеральное агентство по образованию  РФ

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

“Тверской государственный университет”

_________________________________________________________________________________________________

Факультет прикладной математики и кибернетики

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

Тема: «Исследование системы уравнений на совместность»

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент 11группы

Богданов  Александр Александрович

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического  моделирования

Шестакова Елена Григорьевна

 

Тверь – 2012

 

 

 

Оглавление

Постановка задачи --------------------------------------------------------------------- Стр. 3

Теория ------------------------------------------------------------------------------------ Стр. 4

Нахождение ранга исходной матрицы А ----------------------------------------- Стр. 5

Нахождение ранга расширенной  матрицы АВ --------------------------------- Стр. 6

Нахождение решений в  первом случае совместности системы ------------- Стр. 7

Нахождение решений во втором случае совместности системы ----------- Стр. 8

Общий вывод ---------------------------------------------------------------------------- Стр. 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи.

Дана система AX=B, которую можно записать в матричном виде:

*

 

 

Даны значения А и В:

 

 

А=                             B=

 

 

 

Задача: Исследовать систему  на совместность. Найти решение в  каждом случае совместности, в зависимости  от параметров и .

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория.

 

Для решения поставленной задачи потребуется:

• Теорема о совместности системы Кронекера Капелли.
• Определение ранга матрицы.
• Понятия: определённая (неопределённая) система уравнений.
• Процедура нахождения ранга матрицы.

 

• Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

• Ранг матрицы А — наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А

 

• Процедура нахождения ранга матрицы:

При вычислении ранга матрицы  следует переходить от миноров меньших  порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-ого порядка D, отличный от нуля, то требует вычисления лишь миноры k+1-ого порядка, окаймляющий минор D. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен k.

 

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение ранга исходной матрицы А.

 

Выясним ранг матрицы А в зависимости от параметров

А=,  сразу же отметим, что ранг матрицы А не больше 3.

Рассмотрим миноры матрицы А:

=== 10

Следовательно, ранг матрицы А не меньше 2 при любых α и β.

Немного упростим нашу матрицу с помощью элементарных преобразований.              

 

Теперь рассмотрим минор  третьего порядка с параметром α

= = ( -5)*5

Как мы видим, при 

Рассмотрим другой минор  третьего порядка с параметром β :                                   

При β =

Вывод:

 при α ≠ 5 и β ≠

 

 

 

Нахождение ранга расширенной  матрицы АВ.

Рассмотрим расширенную матрицу AB и найдём её ранг в зависимости от параметров

AB=, отметим, что её ранг не больше 4 и не меньше 3.

Есть минор третьего порядка, отличный от нуля:

== = 6* = 30

 

Рассмотрим минор 4го порядка:

Напомню, что ранее мы упростили нашу матрицу.

∆(AB) = ==

==2

rank (AB)=3  при условии:

2= 0 

Это равенство выполняется  при .

Вывод:

Имеется два случая совместности.

     rank (AB)=3, rank (A)=3. В силу теоремы Кронекера Капелли   система совместна и имеет единственное решение.

 При β = - и    rank (AB)=3, rank (A)=3. В силу теоремы Кронекера Капелли   система совместна и имеет единственное решение.

 

Нахождение решений в  каждом случае совместности системы.

 

Первый случай совместности:

 

 

    .

 

AB=                  

 

                                  ; ; =1

 

Общее решение: = ; = ; = ;           ()

 

Проверка:

 

4*(-1) + 2*1 +1*0 = -2           | Верно

(-3)*(-1) + 1*1 + *0 = 4    | Верно

5*(-1) +(-1)*1 + 2*0 = -6      | Верно

(-1)*(-1) + (-1)*1 + 2*0 = 0    | Верно

 

 

 

 

Второй случай совместности:

 

 ≠5 и β =- .

 

AB=

=

==

= = -=

Общее решение: = ; = ; = ;          ()

 

Проверка:

+ + = -2; =-2; =-2; -2=-2    | Верно.

+ + = 4; =4; =4; 4=4               | Верно.

=-6; =-6; -6=-6                                                   | Верно

=0; 0=0                                                                             | Верно

 

 

 

 

 

 

 

Общий вывод.

 

 

При выполнении поставленной задачи были рассмотрены понятия ранга, совместности и определенности системы, а также метод нахождения ранга и метод исследования системы на совместность.

 

Обобщим написанное ранее:

1. при α ≠ 5 и β ≠.
2. при и любом значении β.

 

3.  при 

 

4. Первый случай совместности: при   и любом значении β система совместна ().

 

5. В первом случае совместности существует единственное решение, не зависящее от параметров :

= ; = ; = ;           ()

6. При   система совместна ().

 

7. Во втором случае совместности существует единственное решение, зависящее от параметра α:

= ; = ; = ;          ().