Исследование системы уравнений на совместность

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тверской государственный университет”

_________________________________________________________________________________________________

Факультет прикладной математики и кибернетики

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

Направление: 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии

Специализация: бакалавриат

Тема: «Исследование системы уравнений на совместность»

 

 

Выполнила:

студентка 16группы

Князькина Дарья Александровна

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического моделирования

Шестакова Елена Григорьевна

 

Тверь – 2011

Оглавление:

Постановка задачи -----------------------------------------------------------------------------Стр. 3

Теория --------------------------------------------------------------------------------------------- Стр. 4

Нахождение ранга основной матрицы А ----------------------------------------------- Стр. 5

Нахождение ранга расширенной матрицы АВ --------------------------------------- Стр. 7

Случаи совместности и несовместности системы-------------------------------------Стр.8

Нахождение решений в первом случае совместности системы ---------------- Стр. 9

Нахождение решений во втором случае совместности системы ------------- Стр. 10

Общий вывод --------------------------------------------------------------------------------- Стр. 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дана система вида АХ=В, которую можно записать в матричном виде, как:

Даны значения А и В:

А=

В=

Задача: Исследовать систему АХ=В на совместность. Найти решение в каждом случае совместности, в зависимости от параметров и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения поставленной задачи нам понадобится следующая теория:

1)Понятия: совместная(несовместная) системы линейных уравнений. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

2)Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

3) Ранг матрицы А — наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А.

4)Понятия: определённая (неопределённая) система уравнений. Совместная система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение. Если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

5) Определитель матрицы, образованный элементами, стоящими на пересечении некоторых k строк и k столбцов матрицы А называется минором k-ого порядка .

5) Процедура нахождения ранга матрицы: При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-ого порядка D, отличный от нуля, то требует вычисления лишь миноры k+1-ого порядка, окаймляющий минор D. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен k.

 

Нахождение ранга матрицы А:

А=

Максимальный rang(A)=3

Существует минор второго порядка, неравный нулю.

Следовательно  2<=rang(А)<=3.

Рассмотри минор третьего порядка:

= 4(4+ )

4(4+ )=0

=-4

Возьмем другой минор третьего порядка.

=4(2 +4)

4(2 +4)=0

=-2

Подставим значения параметров в матрицу А и проверим:

Существует минор второго порядка

Значит при =-4 и =-2 rang(A)=2 , а в остальных случаях rang(A)=3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь нужно выяснить ранг системы АВ в зависимости от параметров.

А=

Так как существует минор третьего порядка

3<=rang(AB)<=4

Рассмотрим минор четвертого порядка:

 

=

При β=-4 или α=-3 rang(AB)=3,а при β≠-4 и α≠-3  rang(AB)=4.

 

 

Случаи совместности и несовместности системы:

1) β=-4, α≠-2

rang(AB)=3, rang(A)=3 - система совместна и имеет одно решение

2)α=-3, β – любое

rang(AB)=3, rang(A)=3 - система совместна и имеет одно решение

3)α≠-3, β≠-4

rang(AB)=4, rang(A)=3 - система несовместна

4)α=-2, β=-4

rang(AB)=3, rang(A)=2 - система несовместна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем решение системы в случаях совместности.

1) β=-4, α≠-2

х1=

х2=

х3=1

{(-3/(α+2);(-3α-9)/(2α+4);1),α R,α≠-2}

Проверка:

Пусть α=1, тогда

х1= - 1,х2= -2,х3=1

-1*(-1)+2*(-2)+4*1=1 верно

2*(-1)-4*(-2)-4*1=2 верно

1*(-1)+4*(-2)+10*1=1 верно

-1*(-1)+2*(-2)+0*1=-3 верно

 

 

2)α=-3, β – любое

х1=3

х2=0

х3=1

(3;0;1)

Проверка:

-1*3+2*0+4*1=1 верно

2*3+β*0-4*1=2 верно

-3*3+4*0+10*1=1 верно

-1*3+2*0+0*1=-3 верно

 

 

 

 

Общий вывод.

При выполнении поставленной задачи были рассмотрены понятия ранга, совместности и определенности системы, а также метод нахождения ранга и метод исследования системы на совместность.

В ходе выполнения работы было выяснено:

1)При β=-4 и α=-2 rang(A)=2, в остальных случаях rang(A)=3;

2) При β=-4 или α=-3 rang(AB)=3,а при β≠-4 и α≠-3  rang(AB)=4.

Было найдено два случая совместности:

1) β=-4, α≠-2.

В данном случае совместности система будет иметь одно решение, зависящее от параметра α:

{(-3/(α+2);(-3α-9)/(2α+4);1),α R,α≠-2}

2) α=-3, β – любое

В данном случае совместности система будет иметь решение, не зависящее от параметров:

(3;0;1)