Исследование операций в экономике

 

 

Контрольная работа по дисциплине

 

 

 

М А Т Е М А Т И К А

 

 

 

Исполнитель: студент 2-го курса 21-ой группы

экономического факультета

заочного отделения направления

080500.62 «Менеджмент» ст. б. № 10281

Дроздов А.С.

                             Руководитель:

 

 

 

 

 

 

Тверь - 2011

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 3

 

Тема: Исследование операций в экономике.

 

номер варианта 1

 

Содержание:

                                        Стр.

1. Задача №1                                                                     -                3
2. Задача №2                                                                     -                4
3. Задача №3                                                                     -                5
4. Задача №4                                                                     -                7
5. Задача №5                                                                     -                9
6. Задача №6                                                                     -               10

Список использованной литературы                               -                14

 

 

 

 

 

 

 

№ 1. Используя метод множителей Лагранжа найти экстремумы функции при условии

 Подставляем номер  варианта из таблицы: ; ; ; ;   при условии

Решение: Составим функции Лагранжа L

Найдем частные производные функции Лагранжа:

Для нахождения экстремума функции необходимо решить систему уравнений:

 

 

    =>        =>     =>       => 

Таким образом, экстремумы функции при условии соответствуют точки (2; 1) ; (-2; -1)

Ответ: (2; 1) ; (-2; -1)

№2. N=1  Сельскохозяйственное предприятие располагает 851 га пашни, 15000 т органических удобрений, 50000 чел./дн. труда. Характеристики затрат ресурсов и выход валового продукта в денежном выражении на 1 га при выращивании трёх культур (капусты, картофеля и многолетних трав на сено) приведены в таблице

Показатель	Культура
	Капуста	Картофель	Травы
Затраты труда, чел./дн.	51	31	11
Затраты органических удобрений, т	21	16	11
Выход валовой продукции, усл.ед.	101	801	201

 

Составить математическую модель задачи нахождения оптимального плана сочетания посевов культур, максимизирующего валовую продукцию в денежном отношении. (цифры приведены с учетом № варианта).

Решение: Обозначим x1  - площадь посева капусты, x2 – площадь посева картофеля, x3 – площадь посева травы, тогда

                  (1)

По условию задачи x1; x2; x3 ≥ 0 обозначим L – выход суммарной продукции (условных единиц), тогда получим целевую функцию

Ответ: необходимо найти такие неотрицательные значения переменных x1; x2; x3 , которые удовлетворяют системе неравенств (1) и при которых целевая функция L обращалась бы в малеимум.

 

 

 

№ 3. Графический метод решения.

Согласно номера варианта найти наименьшее значение функции L=2х1-3х2 при ограничениях

  =>   

Построим прямые:  (1); (2); (3).

Для (1) : х1=1   =>   4+3х2-16=0    =>    3х2=12   =>   х2=4  =>  А (1;4)

              х2=0   =>   4х1+3 0-16=0   =>  4х1=16  =>  х1=4  =>  В (4;0)

Для (2) : х1=0  =>  -x2+1=0   =>  -x2=-1  =>    x2=1   =>  C (0;1)

              x2=0  =>  -x1+1=0  =>  -x1=-1  =>  x1=1  =>  D (1;0)

Для (3) : x1=0  => 3x2=0 => x2=0   =>   O (0;0)

           x1=3   =>   -12+3x2=0  =>  3x2=12  =>  x2=4  => F(3;4)

Построим линию уровня 2х1-3х2=0  (4)

    x1=3  =>  -3x2=0 =>  x2=0   =>  O (0;0)

   x1=3  =>  6-3x2=0  =>  3x2=6  =>  x2=2  =>  E (3;2)

Из рисунка видим, что значение функции L убывает при перемещении исходной линии уровня в направлении противоположном вектору , поэтому необходимо найти точку пересечения прямых (1) и (3):

     

6х2=16 =>  => N (2;3)

 

X2

X1

 

Подставим координаты точки N в выражение L , получим:

Lmin = 2∙2 - 3∙ = 4 – 8 = - 4

Ответ:     Lmin = - 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 4. Решить задачу № 3 симплекс методом  L=2х1-3х2 à min

Решение: Введем добавочные неотрицательные переменные и перейдем к системе уравнений:

   =>              (1)

                                  (2)

Запишем (1) и (2) в виде таблицы:

	Свободный член	x1	x2
L	0	-2	3
y1	16	4	3
y2	-1	-1	-1
y3	0	-4	3

	Свободный член	x1	x2
L	0 0	-2 4	3 -1
y1	16 0	4 4	3 -1
y2	-1 0	-1	-1
x2	0 0	-4	3

Так как в первой строке коэффициент при x2 положителен, то выведем x2 из числа свободных переменных ; значит в качестве разрешающего элемента нужно взять элемент 3 в столбце х2 строке у3 произведем замену х2 ↔ у3

В верхней строке есть положительный коэффициент при x1 из числа свободных переменных. Так как в столбцах x1 имеется только один положительный элемент 8, то его выбираем в качестве разрешающего, т.е. производим замену х1 ↔ у1

В первой строке таблицы нет ни одного положительного элемента, и все свободные числа (за исключением строки  L ) неотрицательны, значит оптимальное решение достигнуто.

   при   х1=2 ;   х2=

Ответ:     Lmin = - 4

 

 

 

 

 

 

 

№5 Составить двойственную задачу к данной:

Решение:

Составим расширенную матрицу В из коэффициентов при переменных системы ограничений и линейной формы транспортируем матрицу в       Таким образом, двойственная задача будет иметь вид:               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 6 Транспортная задача. Составить план перевозки однородного груза от пунктов производства к пунктам потребления с минимальными суммарными транспортными расходами

	211	51	91	151
61	5	15	10	9
111	8	10	9	7
171	7	6	6	9
161	11	5	7	12

 

Решение: Оцениваем суммарный запас и спрос

  так как то данная транспортная задача является закрытой.

Составим таблицу распределения поставок с помощью правила учета наименьших затрат. При этом затраты на перевозку единицы груза будем указывать в правой верхней правой части ячейки, а количество в центральной части ячейки:

Выясним, является ли данный план перевозки оптимальным. Припишем к полученной таблице снизу добавочную строку для платежей bj, а с права – добавочный столбец для платежей **i; псевдостоимости записываем в левом верхнем углу каждой клетки, один из платежей, например **1 выбираем произвольно, **1=0

Так как и , то полученный план не является оптимальным.

Переведем в базисные одну из свободных клеток, для которых , например клетку (4.2). Строим соответствующий этой клетке цикл, цена этого цикла 5-10=(-5). Перенесем по этому циклу 51 ед.груза

Вычисляем новые значения платежей по прежнему пологая **1=0

Так как  , то полученный план не является оптимальным.

Переведем в базисные клетку (4.3), построим цикл соответствующий этой клетке. Перенесем по циклу 70 ед.груза

Вычисляем новые значения платежей по прежнему пологая **1=0

Так как  , то и данный план не является оптимальным.

Переведем в базисные клетку (3.4). Построим соответствующей этой клетке цикл и перенесем по этому циклу 21 ед.груза

Вычисляем новые значения платежей по прежнему пологая **1=0

Так как в полученной таблице для всех клеток, то данный план перевозки продукции является оптимальным. Суммарные транспортные расходы составят:

                           3441 денежные единицы

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

1. Высшая математика для экономистов.// под ред. Кремера Н.Ш.,-М.: Банки и биржа, ЮНИТИ; 1998г.
2. Карасёв А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.II Теория вероятностей и математическая статистика. Линейное программирование., - Москва : Высшая школа; 1982
3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972.