Исследование функций и построение графиков

Тогда:  1) если  – четное  и ,  то    является точкой минимума функции  ;

2) если  – четное  и ,  то    является точкой максимума функции  ;

3) если  – нечетное,  то    не является точкой экстремума функции . 

    Замечание. На практике пользоваться вторым достаточным условием экстремума функции менее удобно, чем первым.  Это связано с тем, что 1) не всегда легко вычислить  ;  2) поведение функции (возрастание и убывание) определяется не на всех интервалах области определения.  Но иногда, все же лучше применить второе достаточное условие. Например, если критических точек бесконечно много. 

    ПРИМЕР.  Найти экстремумы функции  .

РЕШЕНИЕ

1) Находим  область определение функции:

2) Находим  производную функции  и ее  критические точки:

       :   таких точек нет.

3) Находим вторую производную функции и вычисляем ее в критических точках:

    Таким образом, функция    имеет максимумы в точках 

и имеет  минимумы в точках