Использование дифферинциальных уравнений в военной технике

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что

.

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

,

и затем приравнять их H(y)+c1=G(x)+c2 (имея в виду z=H(y)+c1, z=G(x)+c2, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c1 и c2 обычно берется одна c=c2-c1, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в видеH(y)=G(x)+c.Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример . Решить дифференциальное уравнение ,

Найти его частное решение при условии .Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

.Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

.Интегрируя каждую из частей  этого уравнения, получаем следующее  общее решение исходного дифференциального  уравнения

 или .Используя начальное условие , определяем значение константы c для искомого частного решения

.

Искомое частное решение дается уравнением .[4, стр 8-15]

 

 

1.3 Однородное  дифференциальное уравнение первого  порядка

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .(3)

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если

.

Например, функция является однородной второй степени. Действительно,

.

Функция однородная нулевой степени, так как .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем

,

где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y) или ., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x2-y2)dx+2xydy=0.

Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени.

Действительно,

 

.

 

Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

 или  , т.е. .

Разделяя переменные приходим к уравнению

.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

 или  , где c>0.

 

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид , где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения или y2+x2=cx,

Последнее выражение приводится к виду

.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. [3, стр 57-67]

1.4 Линейные дифференциальные  уравнения первого порядка

Общий вид:

y`+ P(x)y=Q(x)    ( 4)

P(x), Q(x)- функции от переменной х. P(x) и Q(x) не равны 0, иначе получается уравнение с разделяющимися Переменными.

Решение уравнения (2) ищется в виде: y=uv ; u=u(x) v=v(x).Найдём y`:

y`=u`v+uv`.Подставим значения y и y` в уравнение (2) получаем:

u`v+uv`+P(x)uv=Q(x) или uv`+u(v`+P(x)v)=Q(x)

Пусть (v`+P(x)v)=0

dv/dx=P(x)v; dv/v=-Q(x)dx ; lnv=- ∫e-∫P(x)dx  u`v=Q(x); (du/dx) *e -∫P(x)dx =Q(x);

du= ∫Q(x) e -∫P(x)dx dx+C

1.5 Уравнение Бернулли

Общий вид уравнения:

y`+ P(x)y=Q(x)yn        (5)

n не равно 0 и 1 Разделим (5) на yn ; yn y`+ P(x)y1-n=Q(x). Введём новую переменную Z=y1-nПродифференцируем выражение. В итоге получится: z`=(1-n) y-n y` ;z`/(1-n)+P(x)=Q(x)-полученное уравнение- линейное уравнение первого порядка. При помощи замены z= y1-n мы находим y. [5, стр 77-89]

 

 

2. Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота.

В рамках практически любой исходной проблемной ситуации можно выбрать не один путь решения, приводящий к противоречию, а несколько. Осознание этого факта дает возможность более глубокого управления процессом решения.

А если заходит разговор об управлении процессом, то и соответствующую задачу  целесообразно ставить как задачу управления.

Задача управления ставится следующим образом. Задан объект управления (ОУ). Необходимо синтезировать устройство управления, которое вырабатывает  воздействия (управления) на объект,  приводящие  его к необходимой цели.

Выберем  два объекта управления:   изобретательскую ситуацию и самолет (его динамику - для аналогии). 

Первым этапом решения задачи управления является идентификация объекта управления, т.е. получение математической модели  ОУ.

Откуда берется математическая модель самолета? Вовсе не из теории управления, а из аэродинамики и подобных смежных наук. Потому, что за многие годы проектирования в авиации сложился определенный формализованный остов, стержень, основа математических моделей самолетов в виде определенной системы дифференциальных уравнений. Эта система показала свою жизнеспособность, и специалисту по теории управления остается только "привязать" конкретный самолет к этой основе, по возможности, с минимальными изменениями. Такой способ существенно отсекает "отсебятину", субъективность проектировщиков.

Применительно к изобретательству  формализованным описанием технической системы является формула изобретения. Она составляется по определенным правилам, и показала свою жизнеспособность за время существования патентного права. Поэтому вполне возможно за первоначальную модель изобретательской задачи выбрать формулу изобретения-прототипа, "привязав" к нему исходную изобретательскую ситуацию. Прототип, как известно, выполняет ту же функцию, и отличается от заявляемого решения по минимальному количеству признаков. Назовем такую модель патентной.

Далее, каковы же дальнейшие пути формализации проблемной ситуации?

Обратимся снова к модели самолета.  Система дифференциальных уравнений, упомянутая выше, записывается обычно в так называемой нормальной форме Коши:                 

                   dx/dt= F(x,u),                         (2.1)

где x - вектор состояний самолета, вектор управлений, F-некоторая функция, t - время. Координатами вектора состояний выбираются переменные, определяющие положение самолета в текущий момент времени, например,  x1  - дальность полета или первая координата вектора x, x2 -горизонтальная скорость полета или вторая координата вектора х, x3- высота полета, x4- вертикальная скорость, x5 - курс, x6- наклон траектории, x7- угол наклона  самолета относительно центра его масса  и  другие  переменные. В качестве координат вектора управления обычно выбираются u1  - угол поворота руля направлений, u2- угол поворота руля высоты, u3- угол поворота элеронов, u4- угол тяги и другие средства управления. Система уравнений (1) может быть расписана и в скалярной форме                            

dx1 /dt= F1(x,u),                            

 dx2 /dt= F2(x,u),                              (2.2)                            

......................                            

 dxn /dt= Fn(x,u),

где n - порядок системы. 

Решение каждого уравнения (2.2) дает некоторое элементарное движение. Их совокупность характеризует сложную динамику всего самолета. Число n  уравнений может доходить до 200, когда описывается не только движение центра масс самолета, но и движение вокруг центра масс в трехмерном пространстве, не жесткость крыльев  самолета, расход топлива, изменение положения центра масс  и другие движения.

Если перейти к модели изобретательской задачи, то возникает вопрос, что же может быть такими элементарными движениями,  совокупность которых и определяет   проблемную  ситуацию?

На наш взгляд, такими элементарными движениями могут быть противоречия, а каждое i-ое уравнение системы (2.2)  будет описывать развитие i-ого противоречия по  координате xi(t),  i=1,2,.. n.  Тогда вся система (2.2) должна математически моделировать исходную проблемную ситуацию изобретательской задачи.  Остается связать патентную  и математическую модели, и возможно это сделать через структурную модель.

Можно предполагать, что математическая модель может оказаться весьма сложной. Например, систему из двух сотен    дифференциальных уравнений  анализировать очень трудно, а  синтезировать к ней автопилот (применительно к самолету) просто невозможно.   Поэтому  систему уравнений подвергают декомпозиции. Для этого выделяют какую-нибудь траекторию, направление, и рассматривают движение, относящееся только к этому направлению.

Например, руление самолета по осевой линии взлетно-посадочной полосы можно в простейшем случае описать всего двумя уравнениями типа (2): одно для скорости движения, а другое - для скорости изменения скорости, т.е. ускорения.

Полет в трехмерном пространстве чаще всего разбивают на два движения: продольное - в вертикальной плоскости, и поперечное - в горизонтальной. Например, глиссада (траектория посадки) в продольной плоскости может быть описана системой всего из 4-х уравнений и т.п.

Если перейти теперь к изобретательской ситуации, представленной патентной моделью, то в ней тоже необходимо выделить направления движения, по которым можно декомпозировать патентную модель.

Наиболее естественным выбором в качестве направлений декомпозиции являются причинно-следственные цепочки или линии прохождения /преобразования  энергии/информации, вытекающие из законов развития (полноты частей системы, информационно-энергетической проводимости и т.п.).

На этих линиях по патентной модели строим структурную модель. Собственно, эта операция не только в ТРИЗ, а и вообще в техническом творчестве, известна давно и достаточно отработана, поскольку патентное описание устройств чаще всего сопровождается структурными иллюстрациями.  Например, структурную модель задачи о запайке ампул с лекарством можно представить в виде  на рисунке 1. Конечно, у разных исполнителей модель может иметь некоторые вариации, однако имеется и единство, которое определяется общим патентным описанием и линиями прохождения энергии/информации.  Как видно из рисунка 1 структурная модель содержит 4 таких линии. По аналогии с моделью самолета линия "давление-газ-горелка-пламя-ампула-лекарство" может быть названа продольной,  
а остальные линии, например, конвейер-кассета-ампула - поперечными. [7]

Рисунок 1. Пример структурной схемы

Продольное  движение самолета частично влияет на его поперечное движение и наоборот, т.е. существуют перекрестные связи с канала на канал. Однако автопилоты для обоих движений синтезируют раздельно. Если перекрестные движения сильно влияют друг на друга, то синтезируют автопилот с антиперекрестными связями, исключающими взаимовлияние влияние каналов; если перекрестные  связи слабые, то сначала синтезируют автопилот для одного канала, включают его в систему управления, и затем синтезируют автопилот для другого канала.[6]

В изобретательской задаче поступаем аналогичным образом.  Если противоречия в элементах на пересечениях продольных и поперечных линий сильные (назовем их перекрестными), то разрешаем эти противоречия в направлении устранения влияния одной линии на другую. Затем  разрешаем, если необходимо, противоречия уже в развязанных линиях.

Если перекрестные противоречия слабые, тогда разрешение противоречий в продольных и поперечных линиях осуществляем последовательно.

Из чего делаем вывод, что разрешение противоречий зависит от их силы, после оценки силы противоречий выбираем каким путем идти, т.е. какие линии станут разрешающими (первоначальными), а какие будут разрешены последовательно.[8]

 

 

Заключение

В результате проведенной работы была раскрыта тема «Дифференциальные уравнения», поставленная цель достигнута в полном объёме ,выполнены следующие задачи:

1. Изучены ДУ первого порядка: ДУ с разделяющимися переменными, однородное ДУ первого порядка, линейное ДУ, уравнение Бернулли.

2. Изучены линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.