Геометрия

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием

Свойства равнобедренного треугольника

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

• Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.

• Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой.

• Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

2) Признаки  равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной общей точки, называются параллельными.

Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Второй признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

Третий признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то эти две прямые параллельны.

4) Сумма углов треугольника равна 180º.

5) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом

треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника: внешний угол треугольника равен

сумме двух внутренних углов, не смежных с ним

6) Треугольник, у которого все три угла острые, называется остроугольным.

Треугольник, в котором есть прямой угол, называется прямоугольным.

Стороны треугольника, заключающие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой

Треугольник, в котором есть тупой угол, называется тупоугольным

7) Прямоугольный треугольник - это треугольник один угол которого прямой,т.е. равен 90градусам. 
Свойство 1: Сумма двух острых углов равна 90 градусам. 
Свойство 2: Катет прямугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. 
Свойство 3: Если катет прямугольного треугольника равен полвине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.

8) Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

9) Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом

Признаки параллелограмма: 
 
1) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. 
 
2) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

10) Трапеция  — четырёхугольник, у которого только пара сторон параллельна

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной.

• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

11) Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Свойства

• Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны попарно параллельны.

• Стороны прямоугольника являются его высотами.

• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).

• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

12) Ромб  — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства

1. Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны равны и попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).

Диагонали в ромбе в точке пересечения делятся пополам

13) Квадра́т — правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны.

Перечислим свойства квадрата:

1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

14) Основными видами симметрии являются: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно оси (осевая симметрия), поворот около данной точки, параллельный перенос и зеркальная симметрия.

Осевая симметрия – это отображение плоскости на себя относительно какой либо прямой, являющейся осью симметрии. Осевая симметрия является движением, так как она сохраняет расстояние между точками. Но не сохраняет направление.

Центральная симметрия-это отображение плоскости на себя относительно какой-либо точки. Центральная симметрия сохраняет расстояние, но не сохраняет направления. (Слайд 9). В природе примером центральной симметрии может служить снежинка

Поворот – это движение вокруг точки на угол α, при котором точка остается, а все остальные поворачиваются вокруг неё в заданном направление на угол α.

Пятиконечная звезда при повороте на угол 72 градуса вокруг центральной точки (точки пересечения ее лучей) займет первоначальное положение.

 

вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале

Еще одним видом симметрии, о которой мы пока не говорили, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии.

15) Формулы площади треугольника

1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны;  — угол между сторонами a и b; — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

S = aha

S =

ab sin

S = pr

2. Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.

S =

ab

S =

chc

3. Равносторонний треугольник

16) Теорема 9.2 (об отношении площадей подобных фигур).

Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных линейных элементов.

Или, иначе,отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия

17) Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

 

Второй признак

Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

 

третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

 

18) Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте 
   Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S =

a · h

 

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними 
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S =

a · b · sin α

 

где S - Площадь параллелограмма,

a, b

- длины сторон параллелограмма,

h

- длина высоты параллелограмма,

α

- угол между сторонами  параллелограмма.

 

19)

отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу: Площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы

20) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

21) Теорема Пифагор

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

22) Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.[

23) Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

24)

Основноетригонометрическоетождество

Косинус и синус угла

, будучи соответственно абсциссой  и ординатой точки тригонометри-

ческой окружности, не являются независимыми величинами. Их связывает

основное тригоно-

метрическое тождество

:

sin

2

+ cos

2

= 1

:

(1)

Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному ко-

синусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Для определения знака искомой три-

гонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например,

в какой четверти расположена точка

25) Табличные значения тригонометрических функций

			—
		—

26) Прямая,проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу,проведённому в эту точку,называется касательной 27) Свойства Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная». 28) Центральным углом называется угол, образованный двумя радиусами одного и того же круга. центральный угол - угол, вершина которого совпадает с центром окр-и.он равен градусной мере дуги на которую опирается 29)