Геометрическое решение игр

 

Введение

Графический метод решения игр  позволяет решать в смешанных  стратегиях антагонистические игры размером 2х2, 2хn и mх2. Этот метод обязательно  предполагает наличие у хотя бы одного из игроков только двух стратегий, потому что иначе ситуацию невозможно будет  представить на плоскости.

Остановимся на понятии смешанных  стратегий. Случай, имеет место равновесная  ситуация, т.е. такая ситуация, когда  применение неких определенных стратегий  двух игроков  максимально выгодно для обоих, на практике встречается редко.  Обычно каждая сторона старается увеличить свой выигрыш (или уменьшить проигрыш) по сравнению с нижней (или верхней) ценой игры. Для этого требуется скрыть свое поведение от противника, сделать его непредсказуемым, так как прямое применение единственной стратегии может быть путем логических рассуждений предугадано противником. В то же время полный отказ от рационального начала и переход к бессистемному поиску вариантов решений означал бы прекращение игры как таковой и замену ее неуправляемым случайным процессом. Приемлемый компромисс достигается здесь применением нескольких стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот. Такие стратегии и называются смешанными.

Целью данной работы будет, во-первых, рассмотрение теоретических основ  и изучение методики использования  графического метода для решения  игровых задач и, во вторых, анализ возможности применения его на практике, связанной с экономической деятельностью.

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть.

В случае, когда число  чистых стратегий одного из игроков (скажем, первого) равно двум, возможно геометрическое решение игры, то есть нахождение её цены и смешанных стратегий  каждого игрока.

Рассмотрим идею этого  решения на случае n=m=2, когда платёжная  матрица имеет вид

 

Пусть первый игрок применяет  смешанную стратегию с  Тогда , так как должно быть

Рассмотрим прямоугольную систему  координат, где по оси абсцисс  откладывается величина p (она занимает отрезок ), а по оси ординат - величина среднего выигрыша первого игрока.

Пусть второй игрок выбирает ход j=1. Тогда средний выигрыш первого  игрока будет равен

 

что является отрезком прямой, соединяющей  точки и . Если второй игрок выбирает ход j=2, то средний выигрыш первого игрока будет равен

 

что является отрезком прямой, соединяющей точки  и

Минимальный выигрыш первого  игрока представляет собой минимальное  значение из ординат этих двух прямых и на рисунке он изображен жирной линией. Из рисунка видно, что максимальное значение этого минимального выигрыша определяется точкой пересечения этих двух отрезков

 

и оптимальная смешанная стратегия первого игрока есть (.

Аналогично, максимальный проигрыш второго игрока определяется максимальным значением из ординат этих двух прямых и на рисунке он изображен штриховой  линией. Легко видеть, что минимальное  значение этого максимального проигрыша  также равно . Смешанная стратегия второго игрока есть , где находится из того условия, чтобы при любом ходе первого игрока проигрыш второго был бы равен одной и той же величине

 

и равен также

Таким образом, мы нашли и  цену игры и оптимальные смешанные стратегии каждого игрока.

На рисунке приведен лишь самый интересный и стандартный  случай. Возможны и другие варианты, два из который приведены ниже.

В варианте, приведенном  на рис. 2, оптимальной для первого  игрока является чистая стратегия с p=1, то есть первый игрок всегда должен выбирать первый ход; для второго  игрока оптимальным является выбор  второго хода, то есть i=1, j=2 является седловой точкой платёжной матрицы.

В ситуации, приведённой  на рис. 3, есть целый отрезок оптимальных  значений  , то есть оптимальная смешанная стратегия неоднозначна.

Эта методика легко переносится  на случай, когда n=2, а m>2. Тогда платёжная матрица имеет вид

 

и мы должны нарисовать m отрезков прямых

соединяющих точки и. Затем нужно построить ломаную линию, соответствующую минимальному значению ординат всех этих отрезков. Максимальное значение этой ломаной и даст значение цены игры . Оптимальное значение p определится как точка пересечения тех прямых,

которое дает значение .

 

 

 

 

 

2. Практическая часть.

Рассмотрим пример. Пусть платёжная матрица имеет вид

j=1,2,3

 

Тогда мы должны построить  три отрезка прямых

                                                

                                                

                                               

Они изображены на рис. 4, где  также жирной линией

выделен минимальный выигрыш  первого игрока.

Легко видеть, что максимальное значение этого минимального выигрыша определяется пересечением прямых, соответствующих j=2 и j=3, то есть определяется из условия

 

откуда следует, что , так что оптимальная смешанная стратегия первого игрока есть (5/11, 8/11).

Цена игры

 

Что касается второго игрока, то в образовании цены игры участвуют  только j=2 и j=3. Поэтому ход j=1 он вообще не должен делать; считая, что ,  , получим

+11(1-

то есть как при первом, так и при втором ходе первого  игрока проигрыш второго должен быть равен . Отсюда получаем, что , то есть оптимальная смешанная стратегия второго игрока есть (0, 9/11, 2/11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 Теория игр является  очень сложной областью знания. При обращении к ней надо  соблюдать осторожность и четко знать границы применения.               Теория игр пытается предсказать результат на основе интерактивных моделей, в которых решения каждой стороны влияют на решения других сторон. 
               Смысл «игры» здесь является следующим: действие со стороны одного игрока приводит к действиям со стороны других. 
                 Теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы.

Графический метод является одним из основных методов решения  задач теории игр. Главной особенностью этого метода является графической  изображение задачи. Именно эта особенность  и делает этот метод наиболее простым  для восприятия человеком задачи, которую ему нужно решить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Просветов, Г. И. Математические методы в экономике: Учебно-методическое пособие/ Г.И. Просветов. – М.: Изд-во РДЛ. –2004–230 с.

2. Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб пособие./ Е.В. Бережная.– М.: Финансы и статистика. – 2003. – 112 с.

3. Дрогобыцкий, И.Н. Экономико-математическое моделирование. / И. Н. Дрогобыцкий. – М.: Изд-во «Экзамен». – 2004. – 456с.

4.  Гончарова Г. А., Молчалин А. А. Элементы дискретной математики: Учебное пособие /А. Г. Гончарова. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.– 2004.– 890 с. 
         5. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник / Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ, – 2002. –345с.

6.  http://www.coolreferat.com/