Гармонические функции и их свойства

      Условие  непрерывности  в замкнутой области (или какое-либо другое условие разъясняющее смысл того что функция принимает на границе заданные значения) необходимо для единственности. Если отказаться от этого условия, то любую функцию, равную постоянной внутри и заданной функции на можно рассматривать как решение задачи поскольку она удовлетворяет условиям   в.

Докажем теорему единственности.

Первая внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа не может иметь двух различных решений.

Допустим, что существуют две различные функции и являющиеся решением задачи т.е. функции непрерывные в замкнутой области удовлетворяющие внутри области уравнению Лапласа и на поверхности принимающие одни и те же значения . Разность этих функций обладает следующими свойствами:

1) внутри области

2) непрерывна в замкнутой области T+

3) =0.

Функция таким образом, непрерывна и гармонична в области и равна нулю на границе. Как известно, всякая непрерывная функция в замкнутой области достигает своего максимального значения. Убедимся в том что Если функция и хотя бы в одной точке то она должна достигает положительного максимального значения внутри области что невозможно. Совершенно так же доказывается что функция не может принимать нигде внутри отрицательных значений. Отсюда следует что Перейдем к доказательству непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от граничных данных. Напомним что задача называется физически определенной если малому изменению условий определяющих решение задачив данном случае граничных условий соответствует малое изменение самого решения.

      Пусть  и непрерывные в T+ и гармонические внутри функции для которых на . Тогда это же неравенство выполняется внутри области

Таким образом доказали непрерывную зависимость решения от граничных условий и единственность решения первой внутренней краевой задачи.

2.4. Задачи с разрывными граничными условиями.

Часто встречается также первая краевая задача с разрывными граничными условиями. Функция непрерывная в замкнутой области не может быть решением этой задачи. Поэтому требуется уточнить постановку первой краевой задачи применительно к рассматриваемому случаю.

       Пусть  на кривой  ограничивающей область на плоскости задана кусочно-непрерывная функция Требуется найти функцию

1) гармоническую внутри области S

2) непрерывно примыкающую к граничным значениям в точках непрерывности

3) ограниченную в замкнутой области

     Заметим, что  дополнительное требование ограниченности  фактически относится к окрестностям  точек разрыва функции 

  Докажем следующую теорему.

Решение первой краевой задачи  с кусочно-непрерывными граничными значениями единственно.

 Пусть два решения поставленной задачи. Разность –

1) является гармонической функцией внутри

2) непрерывно примыкает к нулевым граничным значениям на границе за исключением точек разрыва   в которых она может претерпевать разрыв

3) ограничена в 

Построим гармоническую функцию

 

где произвольное положительное число диаметр области, расстояние от рассматриваемой точки до точки разрыва     Функция положительна, так как все слагаемые больше нуля.

       Построим  в каждой точке разрыва  круг радиуса выбрав δ так чтобы каждое слагаемое

                                          

на соответствующей окружности превосходило т.е. чтобы

Функция непрерывна в замкнутой области 
 
и на границе этой области.

Поэтому в силу принципа максимума является мажорантой функции  

Фиксировав произвольную точку из области и устремляя к нулю, получаем 
 

Следовательно так как не зависит от или

что и требовалось доказать.

2.5. Изолированные особые точки.

Рассмотрим особые точки гармонической функции. Пусть – изолированная особая точка, лежащая внутри области гармоничности функции . Представляются возможными два случая:

1) гармоническая функция  ограничена в окрестности точки 

2) гармоническая функция не ограничена в окрестности точки .

С особыми точками второго рода мы уже встречались ( например точка функции . Следующая теорема показывает, что первого типа особых точек не существует.

 Если ограниченная функция является гармонической внутри области , за исключением точки , то можно так определить значение , чтобы функция была гармонической всюду внутри .

Возьмем круг радиуса c центром в точке ,  целиком лежащий внутри , и рассмотрим внутри него  гармоническую функцию, совпадающую с функцией на окружности круга .

Составим разность которая:

1) гармонична всюду внутри кроме точки в которой не определена

2) непрерывно примыкает  к нулевым граничным условиям  на

3) ограничена в замкнутой области (

Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы (п. 4), построим неотрицательную гармоническую функции 

Здесь произвольное положительное число радиус круга

 расстояние от рассматриваемой точки до точки разрыва

Построим круг с  центром в точке выбрав радиус так чтобы на его окружности и значение превосходило и рассмотрим область Функция непрерывна в замкнутой области и на границе этой области имеет место неравенство В силу принципа максимального значения неотрицательная функция является мажорантой функции

                               для .

Фиксируя произвольную точку области не совпадающую с и совершая предельный переход при получаем

 

Следовательно всюду за исключением быть может точки

 

Таким образом функция всюду в области за исключением точки совпадает с функцией Полагая получим функцию               гармоническую всюду внутри области                                                   Тем самым теорема доказана.

Аналогично проводится доказательство теоремы для случая трех измерений где в качестве мажорантной функции может быть взята функция 

При доказательстве теоремы мы предполагали что функция ограничена в окрестности точки Однако те же рассуждения остаются в силе если предположить, что функция в окрестности точки удовлетворяет неравенству   

где   произвольная функция стремящаяся к нулю при

т.е. в окрестности точки функция растет медленнее чем

Итак если функция является гармонической функцией внутри области за исключением точки в окрестности которой она растет медленнее, чем при , то эта функция является ограниченной в окрестности точки, и можно так определить значение , что функция и будет гармонической во всей области .

Аналогично в случае трех независимых переменных получим: если гармоническая функция в окрестности изолированной особой точки растет медленнее, чем :

  при  

то она ограничена в окрестности этой точки и можно так определить значение  , чтобы функция была гармонична и в самой точке.

2.6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности.

Гармоническая функция трех переменных называется регулярной в бесконечности если и , ,  

при достаточно большом .

Докажем, что если функция гармонична в некоторой замкнутой поверхности и равномерно стремится к нулю на бесконечности то она регулярна на бесконечности.

Условие равномерного стремления к нулю на бесконечности означает что существует такая функция что

                          ( при

где радиус-вектор точки

      Совершив преобразование Кельвина

                         где          

получим, что функция гармонична всюду внутри поверхности в которую переходит поверхность при преобразовании обратных радиусов - векторов за исключением начала координат где она имеет изолированную особую точку.

Из условия (4) следует что в окрестности начала координат для функции имеет место неравенство

                          ,

где   

                         при .

На основании последней теоремы п. 2.5. функция ограничена и гармонична при :

                  при , (21)

откуда и следует что

                            при .

В силу гармоничности функции      при можно написать:

,

где

                           ,     .

Отсюда, вычисляя производные , , и принимая во внимание ограниченность первых производных функции в окрестности точки

 получаем

  при .

Аналогичные оценки имеют место для производных и .

2.7. Внешние краевые задачи. Единственность решения двух- и трехмерных задач.

Внешние краевые задачи по-разному ставятся для трех и двух независимых переменных.

      Рассмотрим  сначала случай трех переменных. Пусть  область внешняя к некоторой замкнутой поверхности

       Первая внешняя краевая задача (внешняя задача Дирихле) состоит в следующем.

     Требуется  найти функцию  удовлетворяющую условиям:

    в неограниченной области

   и всюду непрерывна включая поверхность

   где функция заданная на поверхности

   равномерно стремится к 0 на бесконечности: при

Последнее условие является существенным для единственности решения в чем легко убедится на простом примере. Пусть требуется решить внешнюю первую краевую задачу для сферы радиуса постоянным граничным условием

                                       

Опуская условие видим что решениями задачи могут служить функции а также любая функция

                                                   где       

       Докажем что внешняя первая краевая задача для гармонических функций с тремя независимыми переменными имеет единственное решение.

      Предполагая существование двух решений и удовлетворяющих условиям видим что их разность представляет собой решение задачи с нулевыми граничными условиями. Поскольку условие выполнено также для функции то для произвольного можно указать такое что     при     

Если точка лежит внутри области (рис. 3.) заключенной между поверхностью и сферой то как то следует из принципа максимального значения примененного к области

 

Рис. 3.

  В силу произвольности  заключаем что в области а также и во всей области что и доказывает единственность решения внешней первой краевой задачи в пространстве.

       Первая внешняя краевая задача на плоскости ставится следующим образом:

       Требуется найти функцию удовлетворяющую условиям:                      

  в рассматриваемой в бесконечной области ограниченной контуром

  и всюду непрерывна включая границу

    где функция заданная на 

  ограничена в бесконечности т.е. существует такое число что

    Требование обращения решения в нуль на бесконечности и здесь оказывается достаточным чтобы доказать что двух разных решений быть не может но оно является слишком сильным так как при нем задача может оказаться вообще неразрешимой.

Рис. 4.

     Докажем что внешняя первая краевая задача для функций двух переменных имеет единственное решение.

     Допуская существование двух различных решений  и и рассматривая их разность являющуюся решением первой краевой задачи с нулевыми граничными условиями в силу условия будем иметь    где таковы что Обозначим через   область лежащую внутри и являющуюся дополнением к области так что есть вся плоскость. Возьмем точку внутри и окружность радиуса с центром в точке лежащую внутри (рис. 4). Гармоническая функция не имеет особенностей в области функция положительна во всей области включая Пусть окружность радиуса с центром в  содержащая целиком контур Функция определяемая равенством

 

есть гармоническая функция равная на окружности радиуса положительная на Из принципа максимального значения следует что является мажорантой для модуля функции в области

 

Фиксируем точку и будем неограниченно увеличивать Очевидно что Отсюда следует что

Тем самым в силу произвольности единственность решения поставленной задачи доказана.

      Единственность  решения этой задачи можно также доказать пользуясь преобазованием обратных радиусов-векторов переводящим область внешнюю к контуру в область внутреннюю к контуру в который переходит контур При этом бесконечна удаленная точка перейдет в изолированную особую точку в окрестности которой функция ограничена. Из теоремы п. 5 будет вытекать гармоничность функции в начале координат а тем самым и единственность решения.

       Из приведенных рассуждений следует что гармоническая функция двух переменных ограниченная в бесконечности стремится к определенному пределу при стремящейся к бесконечности.

      Различие  в постановке первой внешней  краевой задачи для двух и  трех переменных можно пояснить  на следующем физическом примере. Пусть дан шар радиуса  на поверхности которого поддерживается постоянная температура и требуется определить стационарное распределение температуры во внешнем пространстве. Функция представляет решение этой задачи обращающееся в нуль на бесконечности.

     Рассмотрим  теперь двумерную задачу. Пусть  на окружности радиуса задано постоянное граничное значение:

                           

В этом случае есть единственное ограниченное решение задачи и никакого решения обращающегося в нуль на бесконечности не существует. Мы уже встречались с принципиально различным характером поведения гармонических функций в бесконечности для двух и трех независимых переменных ( например поведение на бесконечности).

     Для пространственной  и плоской неограниченных областей  имеет место принцип максимального  значения. В этом нетрудно убедиться  с помощью рассуждений аналогичных тем которые были использованы при доказательстве теорем единственности. Отсюда в свою очередь вытекает непрерывная зависимость решения от граничных условий.