Функция и производная

Контрольная работа 4 

Задание 2.2.2

Найти производные 

следующих функций:

 
 

 

 

 
 

      Продифференцируем обе части равенства по x, считая y промежуточным значением

      ( 

Задание 2.2.3

Для заданной функции 

найти дифференциалы первого и второго порядков и  
 
 
 
 

Задание 2.1.3

   Методом бисекции (половинного деления)  найти один из корней уравнения  c точностью до 0,01 

Отделим корень, чтобы узнать какому промежутку он принадлежит. Для этого запишем  уравнение в виде и построим в одной координатной плоскости эти 2-е функции. Точками пересечения опускаем на ось Ох и определяем какому промежутку принадлежат корни уравнения

Полученные  пересечения x1=-2.48;  x2=0.6;  x3=1.8.

1. Выбираем пересечение x1=-2.46 и его интервал -2,49<-2.48<-2.47

Найдем  значение f на концах этого интервала и в полученном пересечении

f(-2.49)

f(-2.48)

f(-2.47)

Т.к на концах f знаки не меняются то в этом интервале нет корней данного уравнения

2. Берем пересечение  x2=0.6 и его интервал 0,5<0.6<0.7

Найдем  значение f на концах этого интервала и в полученном пересечении

f(0.5)

f(0.6)

f(0.7)

Берем отрезок (0,6;0,7) т.к на концах этого отрезка f имеет разные знаки

Находим значение f которое она принимает при среднем значении этого интервала (0,65)

0.6<0.65<0.7

  f(0.65) > корень находится в интервале (0.65;0.7)

Находим значение f которое она принимает в середине этого интервала для уточнение интервала, на котором находится корень уравнения.

0.65<0.675<0.7

f(0.675)

(0.65<0,6625<0.675)

f(0.6625)

(0.6625<0,64375<0.65)

f(0,64375)

(0.6625<0.653125<0,64375)

f(0,653125)

Берем отрезок (0,6625; 0,653125) т.к на концах этого отрезка f имеет разные знаки.

Находим значение f которое она принимает при среднем значении этого интервала (0.6625<0,6578125<0.653125)

f(0,6578125)

Это значение f и есть искомый корень уравнения с точностью 0,01 

3. Берем пересечение  x3=1.8 и его интервал 1,7<1,8<1,9

f(1,7)

f(1,8)

f(1,9)

Берем отрезок (1.8;1.9) т.к на концах этого отрезка f имеет разные знаки

Находим значение f которое она принимает при среднем значении этого интервала (1.85)

1.8<1.85<1.9

f(1.85) 

1.8<1.825<1.85

f(1.825) 

1.825<1,8375<1.85

f(1,8375) 

1.825<1,83125<1,8375

f(1,83125)

1,83125<1,834375<1,8375

f(1,834375) 0,00067147827148438

Это значение f и есть искомый корень уравнения с точностью 0,01 

Задание 2.2.7

   Применив формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции , вычислить значение с точностью 0,001. При a=0,83

Для начала найдем производные которые нам понадобятся в формуле Тейлора.

; 
 
 
 

Выберем точку  близкую к a? Чтобы значение f в этой точку вычислялось легко.

, тогда  . Следовательно  

Будем писывать слагаемые до тех пор пока они больше 0,001 по модулю 
 

Задание 2.2.6 

   Найти  и на отрезке . 

Sup f(x)= 1+2*1=3

Inf f(x)=0+2*0=0

Задание 2.2.8

   Требуется  изготовить ведро цилиндрической  формы с заданной вместимостью  V. Какова должна быть высота ведра, чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество материала?  Дно ведра имеет вид конуса, высота которого равна радиусу дна. Крышка такая же.

Проведем некоторые  преобразования   ;  

 Общий объем  ведра равен сумме объемов  дна, цилиндра и крышки. 

Общая площадь равна сумме площадей  

Выразим H ведра формулы объема 

Подставим полученную формулу H в формулу S и исследуем полученную функцию на экстремум, полученное выражение подставим в формулу H и получим искомые данные. 

Продифференцируем функцию  

 

Полученную производную  прировняем к 0 и решим его как  уравнение. 
 

Уравнение равно  0 если числитель равен 0. Следовательно 

Проверим является ли полученное значение R экстремумом min.

Для этого найдем значение R и подставим значения близкие к значению R, если знак производной будет меняться с – на + то мы нашли экстремум

Зададим и найдем значение R 
 
 
 

Данный экcтремум является min

Подставим полученный радиус (R) в формулу высоты (H). 

5 контрольная 

Задание 2.2.5

   Средствами  дифференциального исчисления исследовать  функцию  и построить её график.  Значения коэффициентов В =5и С=14 

Исследуем f:

    Заданная функция является непериодической функцией общего вида. Её график проходит через начало координат, так как .

     Областью  определения заданной функции являются все значения переменной , кроме x= -7 и x=2, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.

     Следовательно, точки x= -7 и x= 2 являются точками разрыва функции. 

     Найдем  вертикальные асимптоты

Так как 

, точка x= -7 является точкой разрыва второго рода

Так как 

, точка x= 2 является точкой разрыва второго рода 

Прямые  x= -7 и x= 2 являются вертикальными асимптотами графика функции. 

     Найдем  наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот , где , .

При   

   Таким образом, при  график функции не имеет асимптот 

Найдем  интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремумов. 
 

      Первая  производная функции  при и , следовательно, при и  , функция возрастает

При  
 

 не существует при x= -7 и при x= 2  

 
 
 
 
 

     При переходе через точку x=   знак меняется с «+» на «-»,  следовательно, точка x=   является точкой максимума f , причем =  

     При переходе через точку x=   знак меняется с «-» на «+»,  следовательно, точка x=   является точкой минимума f , причем =  

   

       Найдем интервалы выпуклости, вогнутости  графика функции и точки перегиба, используя вторую производную  заданной функции, которая равна 
 
 

   Т.к числитель содержит слагаемые со степенью выше 2 то нахождение точек перегиба, вогнутостей и выпуклостей мы найти не можем.

Задание 2.2.4

   Пользуясь  правилом Лопиталя, найти предел.

  . Для раскрытия неопределенности прологарифмируем данную функцию 

Задание 2.3.1

     Для кривой найти в точке уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии. 

     Для кривой в точке уравнения касательной и нормальной плоскости имеют соответственно вид

         

    

Запишем каноническое уравнение касательной и нормальной плоскости 
 

     Определим кривизну линии по формуле 

, где  ,  
 

Вычислим 
 

Кривизна заданной линии в данной точке будет  равна  
 
 

Задание 3.3.4

   Методом  касательных (методом Ньютона)  найти положительный корень уравнения  с точностью до 0,01.

   Все промежуточные  вычисления проводить с точностью  до трех знаков после запятой  (если округление дает ноль, то  учесть первую значащую цифру). 

Решение: 
 

Формула итераций методом Ньютона имеет вид

Для начала найдем начальное приближение . Для этого отделим корни нашего уравнения

  При построении графика получим точку окрестность которой будет промежутком, на котором находится корень (ни) уравнения.

 

Подставляя начальное  приближение в формулу итераций Ньютона получим корень уравнения. 

Т.к  следовательно мы нашли корень искомого уравнения. 

Задание 2.2.1

   Используя  определение производной, найти  производную функции.

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6 контрольная работа

Задание 2.4.1

   Найти  все частные производные второго  порядка функции  и